这类型的证明似乎只针对特定问题，但实在有点巧妙。
主要利用非负性结合二次函数判别式完成。
1. 经典 Cauchy 不等式（离散形式）
这种方法的核心在于：如果一个二次多项式恒非负，那么其判别式必须满足 $\Delta \le 0$。
$$\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$
证明：
构造关于 $t$ 的非负函数：
$$f(t) = \sum_{i=1}^n (a_it + b_i)^2 \ge 0$$
将其展开：$$f(t) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)t^2 + 2\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)t + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \ge 0$$
利用判别式：$$\Delta = \left[2\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)\right]^2 - 4\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \le 0$$
整理即得结论。2. Cauchy 积分不等式
在连续函数空间中，逻辑完全一致。
$$\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2 \le \int_a^b f(x)^2dx \cdot \int_a^b g(x)^2dx$$
证明：
构造非负积分：
$$I(t) = \int_a^b (f(x) + tg(x))^2 dx \ge 0$$
展开后得到关于 $t$ 的二次多项式：$$I(t) = \left(\int_a^b g(x)^2dx\right)t^2 + \left(2\int_a^b f(x)g(x)dx\right)t + \left(\int_a^b f(x)^2dx\right) \ge 0$$
由于 $I(t) \ge 0$ 恒成立，其判别式 $\Delta \le 0$，从而证明不等式。小应用：
若令 $g(x) = \frac{1}{f(x)}$（假设 $f(x) > 0$），则有：
$$\int_a^b \frac{1}{f(x)} dx \ge \frac{(b-a)^2}{\int_a^b f(x)dx}$$
3. 三角不等式
$$\|u+v\| \le \|u\| + \|v\|$$
证明：
构造内积形式的非负二次式：
$$(u+tv, u+tv) \ge 0$$
展开得到：$$(v,v)t^2 + 2(u,v)t + (u,u) \ge 0$$
由判别式 $\Delta \le 0$ 得：$$(u,v)^2 \le (u,u)(v,v) \implies |(u,v)| \le \|u\| \cdot \|v\|$$
利用上述结论展开 $\|u+v\|^2$：$$\|u+v\|^2 = (u+v, u+v) = \|u\|^2 + 2(u,v) + \|v\|^2 \le (\|u\| + \|v\|)^2$$
两侧开方即得三角不等式。