行列式的原始定义：
$$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \dots a_{n, \sigma(n)}$$
然而几乎不会有人这么算。更常见的计算是行列变换成三角阵，然后计算对角线的乘积，但这也有些麻烦，能否直接通过矩阵得到关于行列式的信息呢。（半）正定矩阵的行列式约束
$$ 设 A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} 是正定矩阵。 $$
**则有**：$|A| \le a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$ ； 等号成立 $\iff A$ 是对角矩阵（且对角元 $> 0$）。证明过程
Cholesky 分解：$A = U^T U$，其中 $U$ 是上三角可逆矩阵。
设 $A = L L^T$（其中 $L$ 为下三角矩阵）：
$$ A = \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{n1} \\ 0 & b_{22} & \cdots & b_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} $$
根据矩阵乘法，对角线元素 $a_{ii}$ 可以表示为：
- $a_{11} = b_{11}^2$
- $a_{22} = b_{21}^2 + b_{22}^2$
- $\dots$
- $a_{nn} = b_{n1}^2 + b_{n2}^2 + \dots + b_{nn}^2$
推导如下：
$$ \begin{aligned} a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} &= b_{11}^2 (b_{21}^2 + b_{22}^2) \cdots (b_{n1}^2 + b_{n2}^2 + \dots + b_{nn}^2) \\ &\ge b_{11}^2 b_{22}^2 \cdots b_{nn}^2 \\ &= |L| \cdot |L^T| \\ &= |A| \end{aligned} $$
结论：
只有当所有的非对角元 $b_{ij} = 0$ ($i > j$) 时，等号才成立，此时 $A$ 为对角矩阵。
对于半正定矩阵，我们可以考虑 $|A+\lambda I|$ ，让 $\lambda \to 0^+$ 利用极限保号性就可知该命题也成立。
Hadamard 不等式
$$|\det(A)| \le \prod_{i=1}^n \|v_i\|$$
对 $A^TA$ 应用以上结论就得到了如上的 $Hadamard$ 不等式。计算这样的乘积显然比计算行列式方便的多，如果我们只希望得到一个上界，就不需要费力地计算行列式。Fischer 不等式
进一步地，
设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正定矩阵（或半正定矩阵）。我们将 $A$ 进行分块：
$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^H & A_{22} \end{bmatrix}$$
其中 $A_{11}$ 是 $k \times k$ 的子矩阵，$A_{22}$ 是 $(n-k) \times (n-k)$ 的子矩阵。
Fischer 不等式指出：
$$\det(A) \le \det(A_{11}) \cdot \det(A_{22})$$
等号成立的充分必要条件：
$A_{12} = 0$，即 $A$ 是一个分块对角矩阵。
证明：
对于分块正定矩阵 $A$，其行列式可以改写为：
$$\det(A) = \det(A_{22}) \cdot \det(A_{11} - A_{12} A_{22}^{-1} A_{12}^H)$$
关键点：
- 因为 $A$ 是正定的，所以 $A_{22}$ 也是正定的，从而 $A_{22}^{-1}$ 存在且正定。
- 矩阵 $A_{12} A_{22}^{-1} A_{12}^H$ 是一个半正定矩阵（记为 $B$）。
- 因此，$S = A_{11} - B$。在正定矩阵的序关系中，$S \le A_{11}$（即 $A_{11} - S$ 是半正定的）。
- 根据行列式的性质，我们有：
$$\det(A) = \det(A_{22}) \cdot \det(S) \le \det(A_{22}) \cdot \det(A_{11})$$
当且仅当 $B = 0$ 时等号成立，由于 $A_{22}^{-1}$ 正定，这要求 $A_{12} = 0$。