归纳法在线性代数。
实对称矩阵可以相似对角化
1. 定理描述
实对称矩阵 $A$必可写成$A = PDP^{-1} = PDP^T$，其中 $P$ 是正交矩阵，$D$ 是实对角矩阵。
2. 数学归纳法证明逻辑
假设：$n-1$阶实对称矩阵均可正交对角化。 考察$n$阶实对称矩阵$A$：
- 构造基底：设 $\lambda_1$是$A$ 的一个实特征值，$\alpha_1$是其对应的单位特征向量。将$\alpha_1$扩充为$\mathbb{R}^n$的一组基，经正交化、单位化得到标准正交基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，组成正交矩阵 $P = [\alpha_1 \quad \alpha_2 \dots \alpha_n]$。
- 矩阵变换：
$$ A [\alpha_1 \quad \alpha_2 \dots \alpha_n] = [\lambda_1 \alpha_1 \quad A\alpha_2 \dots A\alpha_n] $$
变换为块矩阵形式：
$$ P^T A P = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & B \end{bmatrix} $$
(由于 $P^T A P$仍为对称矩阵，故第一行其余元素必为$0$)
3. 套用归纳假设：对于 $n-1$阶实对称矩阵$B$，存在正交阵 $P_1$使得$P_1^T B P_1 = D_1$。 4. 最终对角化：
$$ A = P \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & P_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & D_1 \end{bmatrix} \left( P \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & P_1 \end{bmatrix} \right)^T $$
复矩阵的 Schur 分解 (Schur Decomposition)
1. 定理描述
定理：设 $A$为$n$阶复方阵，则必存在一个 酉矩阵 (Unitary Matrix)$U$（满足 $U^H U = I$），使得：
$$ U^H A U = T $$
其中 $T$是一个上三角矩阵，其对角线元素即为$A$ 的特征值。
2. 数学归纳法证明过程
该证明逻辑与实对称矩阵的正交对角化非常相似，但在复数域内进行。
A. 基础步骤 ($n=1$)
$1 \times 1$ 矩阵本身就是上三角阵，结论显然成立。
B. 归纳假设
假设所有 $n-1$ 阶复矩阵都可以通过酉变换化为上三角阵。
C. 归纳步骤 ($n-1 \to n$)
- 寻找特征对：由于是在复数域 $\mathbb{C}$中，由代数基本定理可知$A$至少有一个特征值$\lambda_1$及其单位特征向量$u_1$。
- 构造酉阵：将 $u_1$扩充为$\mathbb{C}^n$的一组标准正交基，构造酉矩阵$U_1 = [u_1, u_2, \dots, u_n]$。
- 块变换：
$$ U_1^H A U_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \mathbf{w}^H \\ \mathbf{0} & A_{n-1} \end{bmatrix} $$
这里 $A_{n-1}$是一个$n-1$阶复矩阵。注意：由于$A$不一定是对称/厄米矩阵，右上角$\mathbf{w}^H$ 通常不为零。
4. 嵌套归纳：根据假设，存在 $n-1$阶酉阵$V$，使得 $V^H A_{n-1} V = T_{n-1}$ 为上三角阵。
5. 最终合成：令 $U = U_1 \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & V \end{bmatrix}$，则 $U^H A U$ 为上三角矩阵。
正规矩阵 (Normal Matrix) 的谱定理
命题：$A$是正规矩阵（即$AA^H = A^HA$）的充分必要条件是 $A$ 酉相似于对角阵。
[!abstract] 归纳法逻辑
- 基础：$n=1$ 显然。
- 归纳：
- 取 $A$的一个特征值及其单位特征向量$u_1$。
- 构造酉阵 $U = [u_1, u_2, \dots, u_n]$。
- 计算 $U^H A U = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \mathbf{w}^H \ \mathbf{0} & A_{n-1} \end{bmatrix}$。
- 关键点：利用 $A$是正规矩阵，证明$\mathbf{w}^H = \mathbf{0}$，且 $A_{n-1}$ 仍为正规矩阵。
- 对 $A_{n-1}$ 使用归纳假设。
厄米矩阵 (Hermitian Matrix) 的对角化
命题：复数域下的实对称矩阵版本——厄米矩阵（$A = A^H$）必可酉对角化，且特征值均为实数。
- 证明差异：逻辑与实对称矩阵完全一致，只需将“转置 $T$”改为“共轭转置 $H$”，将“正交矩阵”改为“酉矩阵”即可。
奇异值分解 (SVD) 的存在性证明
命题：对任意 $m \times n$矩阵$A$，存在 $A = U\Sigma V^H$。
[!abstract] 归纳法逻辑
- 步骤：
- 选取 $A^HA$的最大特征值$\sigma_1^2$及其对应单位特征向量$v_1$。
- 令 $u_1 = \frac{Av_1}{\sigma_1}$。
- 分别扩充 $u_1$和$v_1$为$U_1$和$V_1$ 酉矩阵。
- 构造 $U_1^H A V_1 = \begin{bmatrix} \sigma_1 & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & A_{n-1} \end{bmatrix}$。
- 对剩余块 $A_{n-1}$ 进行归纳。