算两次
要从 $n$人里面选$k$个代表，要么选了$X$要么没选，分别对应$\binom{n-1}{k-1}$和$\binom{n-1}{k}$ ，那么也就有
$$ \dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}=\dbinom{n}{k} $$
另一个等式：
$$ \sum_{r=0}^n\dbinom{n}{r}\dbinom{2n}{n-r}=\dbinom{3n}{n} $$
[!证明]
记 $S$是从$n$个红球和$2n$个绿球中选$n$ 个球的集合。
$|S|=\dbinom{3n}{n}$，因为这就是$3n$个球选$n$ 个。考虑选 $r$个红球的情况，那么就选了$n-r$个绿球，那么就有$\dbinom{n}{r}\dbinom{2n}{n-r}$种情况。对所有的情况求和就得到了$|S|$ 。
综合以上两种算法得到原等式成立。