简单介绍一些求和。
精确的求和
一年给你 $5$万连续给$20$年和一次性给你$50$ 万，你选什么？因为通胀的因素，这需要详细的考虑。
简单地假设每年膨胀的利率是 $p$，那么$n$年之后的$m$元就只等价于如今的$\frac{m}{(1+p)^n}$ 元了。那么第一种方案的总价值是：
$$ v = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{m}{(1+p)^i} $$
这就是我们熟悉的等比数列求和了。
扰动法(Perturbation Method)
我们熟悉的乘上比例错位相减实际上就是所谓扰动法。具体略去。
那么我们进行求和并简单化简得到:
$$ v=m(\frac{1+p-\frac{1}{(1+p)^{n-1}}}{p}) $$
$n\to \infty$ 时，$v\to m(1+\frac{1}{p})$，这相当于每年赚$5$ 万，永久支付，尽管无限次支付，总金实际上有限且未必很大。
有时候我们碰到的东西并不那么友善，例如 $\sum\limits_{i=1}^n ix^i$ ，这时如果运用扰动法，就成了高中常见的错位相减，按下不表。
导数法
对于 $x\neq 1$,$\sum\limits_{i=0}^n x^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ ，求导就得到
$$ \sum\limits_{i=0}^n ix^{i-1}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} $$
两边同乘 $x$就得到$\sum\limits_{i=0}^n ix^i$。再令$n\to \infty$就得到$\sum\limits_{i=0}^\infty ix^i = \frac{x}{(1-x)^2}$。代入我们的年金$m$和利率$p$就得到$v=\frac{m(1+p)}{p^2}$ 。
类似地，做积分可以得到 $\sum\limits_{i=0}^n \frac{t^i}{i}$ ：
$$ \int_{0}^{t} \left( \sum_{i=0}^{n} x^i \right) dx = \int_{0}^{t} \frac{1-x^{n+1}}{1-x} dx $$
也就是
$$ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{t^k}{k} = -\ln(1-t) - \int_{0}^{t} \frac{x^{n+1}}{1-x} dx $$
当 $n \to \infty$且$|t| < 1$ 时：
由于 $x^{n+1}$ 会趋向于 0，那个复杂的误差项积分会消失。于是得到了微积分中著名的 Taylor 级数：
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^k}{k} = \ln \left( \frac{1}{1-t} \right) $$
积分估计
很多时候求和并不能精准求解，这时候通常使用积分估计。随便画出一个单调增的曲线，可以利用间隔 $1$的方块试着分隔其包裹的面积。考虑把曲线左移$1$ 长度，就把所有方块包住了，再加上最后一个方块就有：
$$ \sum_{i=1}^n f(i) \leq f(n) + \int_1^n f(x)dx $$
类似的，我们有：
$$ \sum_{i=1}^n f(i) \geq f(1) + \int_1^n f(x)dx $$
综合起来就得到了 $\sum_{i=1}^n f(i)$的上下界。例如，对$f(x)=\sqrt{x}$ 应用，就可以得到：
$$ \frac{2}{3}n^{3/2}+\frac{1}{3}\leq \sum_{i=1}^n \sqrt{i} \leq \frac{2}{3}n^{3/2} + \sqrt{n}-\frac{2}{3} $$
我们管后面的叫做误差项，因为和主要作用的项比起来小得多，记作：
$$ \sum_{i=1}^n \sqrt{i} = \frac{2}{3}n^{3/2} + \delta (n) \text{, where } \frac{1}{3}\leq \delta(n) \leq \sqrt{n}-\frac{2}{3} $$
以及：
$$ \sum_{i=1}^n \sqrt{i} \sim \frac{2}{3}n^{3/2} $$
正式的定义是：
$$ g(x) \sim h(x) \text{ means } \lim_{x\to \infty} \frac{g(x)}{h(x)}=1 $$
这里的 $g(x),h(x)$ 称为渐近相等。
对于单调减的曲线，我们只需要改变不等号方向即可：
$$ \sum_{i=1}^n f(i) \geq f(n) + \int_1^n f(x)dx $$
以及
$$ \sum_{i=1}^n f(i) \leq f(1) + \int_1^n f(x)dx $$
类似地我们试试 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{i}}$ ：
$$ f(n) + 2\sqrt{n} - 2 \le \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}} \le f(1) + 2\sqrt{n} - 2 $$
$$ \implies \frac{1}{\sqrt n}+2\sqrt{n} - 2 < \quad \dots \quad \le 2\sqrt{n} - 1 $$
那么就是：
$$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}} \sim 2\sqrt n $$