这里开始是从 $mit$的$note$ 整的，之前是视频课。
良序集 是指集合的任意元素都能比较大小，且任意子集都有最小元素的集合。
良序定理(Well Ordering Principle,WOP)： 任何自然数集合都包含一个最小元素。
证明范式
1. 验证边界后，考虑集合 $C$包含不符合命题的$n$#### 2. 利用良序定理，存在最小元素$m$
3. 利用命题，得到更小元素或得到矛盾
示例
连续自然数求和
$$ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} $$
显然 $n=1$时成立。假设集合$C$包含所有不满足上述的$n$。假设$C$非空，根据$WOP$ ，$C$存在最小元素$m>1$。那么对于所有$x<m$命题都成立，那么就有$m-1$ 满足命题，那么
$$ 1+2+...+m - 1=\frac{(m-1)m}{2} $$
两侧同时加上 $m$就得到对$m$命题也成立，矛盾，从而$C$ 实际上为空集，命题成立。
正有理数都能写成最简分数
证明任何正有理数 $q$都能写成最简分数（即$q = \frac{m}{n}$，且 $\gcd(m, n) = 1$），我们可以这样做：
构造整数集合：
设 $S$是所有可以作为$q$ 的分母的正整数组成的集合。
$$ S = \{ n \in \mathbb{Z}^+ \mid \exists m \in \mathbb{Z}^+, q = \frac{m}{n} \} $$
应用良序定理：
因为 $q$是有理数，所以$S$ 一定是非空的。根据正整数集的良序定理，$S$内部一定存在一个最小的正整数，记为$n_0$。
对应分子：
既然 $n_0 \in S$，那么一定存在对应的正整数 $m_0$，使得 $q = \frac{m_0}{n_0}$。
证明最简性（反证法）：
假设 $\gcd(m_0, n_0) = d > 1$。
那么我们可以同时除以 $d$，得到 $m’ = \frac{m_0}{d}$和$n’ = \frac{n_0}{d}$。
此时 $q = \frac{m’}{n’}$，且 $n’$ 也是一个正整数。
由于 $d > 1$，显然有 $n’ < n_0$。
得出矛盾：
这说明 $n’$也应该在集合$S$中，但我们之前假设$n_0$是$S$ 中最小的元素。产生矛盾！
因此，最初的假设 $\gcd(m_0, n_0) > 1$不成立，即$q = \frac{m_0}{n_0}$ 已经是最简分数。
方程无正整数解
$$ 4a^3+2b^3=c^3 没有正整数解。 $$
设集合 $S = {a \in \mathbb{Z}^+ \mid \exists b, c \in \mathbb{Z}^+, 4a^3 + 2b^3 = c^3}$。 根据良序定理，由于 $S$是正整数集的非空子集，它一定包含一个最小元素，记为$a_0$。相应的解记为 $(a_0, b_0, c_0)$。
观察等式：
$$ 4a_0^3 + 2b_0^3 = c_0^3 $$
第一步：关于 $c_0$
左边 $4a_0^3$和$2b_0^3$都是偶数，所以$c_0^3$ 必须是偶数。
这意味着 $c_0$本身必须是偶数。设$c_0 = 2C$，其中 $C \in \mathbb{Z}^+$。
代入原式：$4a_0^3 + 2b_0^3 = (2C)^3 = 8C^3$。
两边同时除以 2，得到：$2a_0^3 + b_0^3 = 4C^3$。
第二步：关于 $b_0$
在新的等式中，$2a_0^3$和$4C^3$都是偶数，所以$b_0^3$ 必须是偶数。
这意味着 $b_0$是偶数。设$b_0 = 2B$，其中 $B \in \mathbb{Z}^+$。
代入上式：$2a_0^3 + (2B)^3 = 4C^3 \Rightarrow 2a_0^3 + 8B^3 = 4C^3$。
两边同时除以 2，得到：$a_0^3 + 4B^3 = 2C^3$。
第三步：关于 $a_0$
现在，$4B^3$和$2C^3$都是偶数，所以$a_0^3$ 必须是偶数。
这意味着 $a_0$是偶数。设$a_0 = 2A$，其中 $A \in \mathbb{Z}^+$。
代入得到：$(2A)^3 + 4B^3 = 2C^3 \Rightarrow 8A^3 + 4B^3 = 2C^3$。
两边最后一次除以 2，得到：$4A^3 + 2B^3 = C^3$。
导出矛盾：
观察最后得到的等式 $4A^3 + 2B^3 = C^3$，这说明 $(A, B, C)$ 也是该方程的一组正整数解。
这意味着 $A \in S$。
但是，根据前面的构造，$a_0 = 2A$，由于 $A$ 是正整数，显然有：
$$ A < a_0 $$
这与我们最初的假设——$a_0$是集合$S$ 中的最小元素——直接矛盾。
结论
由于假设“存在解”会导致逻辑矛盾（永远能找到更小的解），根据反证法，该方程在正整数范围内没有解。
实际上，我们可以发现这个结果可以推广一下，多几个未知数也行，例如
$$ 8w^3 + 4x^3 + 2y^3 = z^3 $$
也可以同样地证明无解。以此类推，有：
$$ 2^nx_n^3+...+2x_1^3=y^3 $$
无解，类似可以证明。当然这也不局限是 $2$，可以推广到素数$p$ 和任意次方：
$$ p^{n-1}x_{n-1}^d + p^{n-2}x_{n-2}^d + \dots + px_1^d = x_0^d $$
也可以完全类似地证明。
离散值的不等式
$$ n\leq 3^{n/3} $$
对正整数成立。
首先对于 $n\leq 4$是显然的，设不满足的正整数构成非空集合$C$，根据$WOP$其有最小元素$m\ge 5$。那么则有$m-1 \le 3^{(m-1)/3}$，两边同乘$3^{1/3}$ 就有：
$$ 3^{1/3}(m-1)\le 3^{m/3} $$
那么只需要说明 $3^{1/3}(m-1) \ge m$ 就能得到矛盾，移项得到：
$$ m\ge \frac{3^{1/3}}{3^{1/3}-1} $$
计算得到右侧为 $3.26$显然符合$m$的取值，从而$m\le 3^{1/3}(m-1)\le 3^{m/3}$ 矛盾，故原不等式成立。
有限非空实数集有最小元素
我们需要一点巧妙的转换，因为良序原理通常是针对自然数（$0, 1, 2, \dots$）定义的。
第一步：反证法假设
假设存在某些有限非空的实数集没有最小元素。
第二步：构建自然数集合
我们将所有“不具备最小元素”的有限实数集的**大小（元素个数）**组成一个集合 $C$。
$$ C = \{ n \in \mathbb{Z}^+ \mid \text{存在一个大小为 } n \text{ 的实数集没有最小元素} \} $$
第三步：应用良序原理
根据我们的假设，$C$ 是一个非空的自然数集合。根据良序原理，$C$必须有一个最小元素，我们称之为$k$。
这意味着：
大小为 $k$的某个实数集$S = {a_1, a_2, \dots, a_k}$ 没有最小元素。
任何大小小于 $k$的非空实数集都一定有最小元素（因为$k$是$C$ 中最小的）。
第四步：寻找矛盾
显然 $k > 1$，因为只有一个元素的集合 ${a_1}$，其最小元素就是它本身。
考虑集合 $S$。我们可以把它拆分为两个子集：$S’ = {a_1, \dots, a_{k-1}}$和${a_k}$。
因为 $S’$的大小是$k-1$，小于 $k$，所以根据定义 $S’$一定有一个最小元素，设为$m’$。
现在，整个集合 $S$的最小元素只需要在$m’$和$a_k$ 之间比较：
如果 $m’ \le a_k$，则 $m’$是$S$ 的最小元素。
如果 $a_k < m’$，则 $a_k$是$S$ 的最小元素。
无论哪种情况，$S$ 都有最小元素。
结论：
这与“$S$ 没有最小元素”的假设产生矛盾。因此，我们的假设错误，所有的有限非空实数集都必然拥有最小元素。
虽然实数本身不是良序的（比如开区间 $(0, 1)$ 没有最小值），但集合的“大小”（元素的个数）是自然数，是服从良序原理的。 我们通过对集合规模进行数学归纳（或良序分析）证明了结论。