感觉高中那套有点遗忘了（
1
已知函数 $f(x) = 3\sin(2x - \frac{\pi}{3}) - 2\cos^2(x - \frac{\pi}{6}) + 1$。把函数 $f(x)$的图像向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，得到函数$g(x)$的图像。若$x_1, x_2$是关于$x$的方程$g(x) = a$在$[0, \frac{\pi}{2}]$内的两根，则$\cos(x_1 + x_2)$ 的值为 ______
答案： $-\frac{\sqrt{10}}{10}$
知识点
二倍角的余弦公式（降次扩角）
辅助角公式 ($a\sin x + b\cos x$)
正弦函数的对称性（对称轴性质）
三角函数图像变换（平移变换）
题目分析
化简 $f(x)$： 利用二倍角公式将平方项降次，再通过辅助角公式合并为单一正弦型函数。
求出 $g(x)$： 根据“左加右减”原则，对自变量 $x$ 进行平移变换。
利用对称性： 方程 $g(x)=a$的两根关于正弦曲线的对称轴对称，由此找到$x_1 + x_2$ 与对称轴的关系。
求值： 将所得关系代入余弦公式求解。
详细题解
第一步：化简 $f(x)$首先处理二次项，利用公式$2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$：
$$ \begin{aligned} f(x) &= 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \left[1 + \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\right] + 1 \\ &= 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \end{aligned} $$
引入辅助角 $\varphi$，令 $f(x) = \sqrt{3^2 + (-1)^2} \sin\left(2x - \frac{\pi}{3} - \varphi\right)$：
$$ f(x) = \sqrt{10}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3} - \varphi\right) $$
其中 $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$，$\cos\varphi = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$，且 $\varphi \in (0, \frac{\pi}{2})$。
第二步：求 $g(x)$ 的解析式
将 $f(x)$向左平移$\frac{\pi}{6}$ 个单位：
$$ \begin{aligned} g(x) &= f\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \\ &= \sqrt{10}\sin\left[2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{3} - \varphi\right] \\ &= \sqrt{10}\sin(2x - \varphi) \end{aligned} $$
第三步：确定 $x_1 + x_2$当$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，$2x - \varphi \in [-\varphi, \pi - \varphi]$。
若 $g(x) = a$有两个不同的根$x_1, x_2$，根据正弦函数的对称性，其相位 $2x_1 - \varphi$与$2x_2 - \varphi$关于直线$\frac{\pi}{2}$ 对称：
$$ \frac{(2x_1 - \varphi) + (2x_2 - \varphi)}{2} = \frac{\pi}{2} $$
解得：
$$ 2x_1 + 2x_2 - 2\varphi = \pi \implies x_1 + x_2 = \frac{\pi}{2} + \varphi $$
第四步：计算最终结果
$$ \begin{aligned} \cos(x_1 + x_2) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right) \\ &= -\sin\varphi \\ &= -\frac{\sqrt{10}}{10} \end{aligned} $$
[!tip] 技巧总结
处理此类问题的关键在于辅助角 $\varphi$的定义。不需要求出$\varphi$的具体角度，只需保留其$\sin$和$\cos$ 值，最后通过诱导公式即可精准抵消。
2
由函数 $g(x)$，$h(x)$相加后得到的函数，具有优美的图像和性质，称为“优生成函数”。已知$g(x) = 2\sin x$，$h(x) = |\sin 2x|$，其生成函数记为 $f(x)$，则（ ）
A. $f(x)$的图像关于直线$x = -\frac{\pi}{2}$ 对称
B. $f(x)$在区间$(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ 上先增后减
C. $f(x)$的值域为$\left[ -2, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right]$D.$f(x)$在区间$[0, 10\pi]$ 上有 11 个零点
正确答案： ACD
知识点
对称性判别： 利用 $f(a-x) = f(a+x)$ 判断对称轴。
周期性： 三角函数复合后的最小正周期。
导数应用： 利用导数研究含绝对值函数的分段单调性与最值。
零点分布： 结合周期性确定闭区间内的零点个数。
详细解析
1. 函数定义与周期性
由题意得：$f(x) = 2\sin x + |\sin 2x|$。
易知 $f(x+2\pi) = 2\sin(x+2\pi) + |\sin(2x+4\pi)| = 2\sin x + |\sin 2x| = f(x)$，故 $2\pi$是$f(x)$ 的周期。
2. 选项 A 校验（对称性）
计算 $f(-\pi - x)$：
$$ \begin{aligned} f(-\pi - x) &= 2\sin(-\pi - x) + |\sin(-2\pi - 2x)| \\ &= 2\sin x + |\sin 2x| = f(x) \end{aligned} $$
根据对称轴公式，函数关于 $x = \frac{-\pi}{2}$ 对称。故 A 正确。
3. 选项 B 校验（单调性）
利用周期性，区间 $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$的单调性与$(-\frac{\pi}{2}, 0)$ 相同。
当 $x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ 时，$\sin 2x < 0$，则 $f(x) = 2\sin x - \sin 2x$。
求导：
$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2\cos x - 2\cos 2x = -4\cos^2 x + 2\cos x + 2 \\ &= -2(\cos x - 1)(2\cos x + 1) \end{aligned} $$
在此区间内，$f’(x) > 0$，函数单调递增。故 B 错误。
4. 选项 C 校验（值域）
由于 $f(x)$关于$x = -\frac{\pi}{2}$对称且周期为$2\pi$，只需考察 $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$：
在 $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ 上： 由 B 项可知单调递增，$f(-\frac{\pi}{2}) = -2$，$f(0) = 0$。
在 $(0, \frac{\pi}{2}]$上：$f(x) = 2\sin x + \sin 2x$。
求导：$f’(x) = 2\cos x + 2\cos 2x = 2(2\cos x - 1)(\cos x + 1)$。
当 $x \in (0, \frac{\pi}{3})$ 时，$f’(x) > 0$（递增）；当 $x \in (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$ 时，$f’(x) < 0$（递减）。
极大值为 $f(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
综上，值域为 $[-2, \frac{3\sqrt{3}}{2}]$。故 C 正确。
5. 选项 D 校验（零点）
令 $f(x) = 0$，即 $2\sin x + |2\sin x \cos x| = 0$。
当 $\sin x \ge 0$ 时：$2\sin x(1 + |\cos x|) = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = k\pi$。
当 $\sin x < 0$ 时：$2\sin x(1 - |\cos x|) = 0 \implies |\cos x| = 1 \implies x = k\pi$。
在 $[0, 10\pi]$区间内，零点为$0, \pi, 2\pi, \dots, 10\pi$，共 11 个。故 D 正确。
注意不要遗漏 $0$ ！
[!abstract] 关键点拨
处理这类含有绝对值的三角函数，分段讨论和导数分析是核心。利用周期性和对称性可以将复杂的全域问题缩小到局部区间（如 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$）来简化计算。
3
设双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_1, F_2$。以坐标原点 $O$ 为圆心，$|OF_2|$为半径的圆与$E$的渐近线在第一象限的交点为$M$，直线 $MF_1$与$E$的左支交于点$N$。若 $|\vec{MN}| = 2|\vec{NF_1}|$，则 $E$ 的离心率为（ ）
A. $\sqrt{2}$B.$\frac{\sqrt{10} + 1}{2}$C.$\sqrt{2} + \frac{1}{2}$D.$2\sqrt{2}$
答案： B
详细解析
确定点 M 的坐标：
圆的方程为 $x^2 + y^2 = c^2$。
第一象限渐近线方程为 $y = \frac{b}{a}x$。
联立解得 $M(a, b)$。
确定点 N 的坐标：
已知 $F_1(-c, 0)$，由 $|\vec{MN}| = 2|\vec{NF_1}|$且点$N$在线段$MF_1$上，可得向量关系$\vec{MN} = 2\vec{NF_1}$。
设 $N(x, y)$，由定比分点公式或向量减法可得 $N\left( \frac{a - 2c}{3}, \frac{b}{3} \right)$。
利用点 N 在双曲线上求解：
将 $N$ 点坐标代入双曲线方程：$\frac{(a-2c)^2}{9a^2} - \frac{b^2}{9b^2} = 1$。
化简得 $(a - 2c)^2 = 10a^2$。
展开并替换 $c = ea$：$a^2 - 4ac + 4c^2 = 10a^2 \implies 4e^2 - 4e - 9 = 0$。
解方程得 $e = \frac{4 + \sqrt{16 - 4(4)(-9)}}{2(4)} = \frac{4 + \sqrt{160}}{8} = \frac{1 + \sqrt{10}}{2}$（舍去负值）。
4
若 $b > 1$，$a \in \mathbb{R}$，且满足 $\frac{1}{e^a} + 2\ln b = a + \frac{1}{b}$，则（ ）
A. $2a < b$B.$a > 2b$C.$e^a < b^2$D.$e^a > b^2$
正确答案： C
知识点
指数与对数的互化： $e^{\ln x} = x$。
构造函数单调性： 通过同构变形构造出形如 $f(x) = e^x + x$或$g(x) = x + \ln x$ 的单调函数。
不等式放缩： 利用已知条件 $b > 1$ 进行合理放缩。
详细题解
法一：指数同构法
变形等式：
将原式 $\frac{1}{e^a} + 2\ln b = a + \frac{1}{b}$ 变形为：
$$ e^{-a} - a = \frac{1}{b} - 2\ln b = \frac{1}{b} + \ln \frac{1}{b^2} $$
利用 $b > 1$ 放缩：
因为 $b > 1$，所以 $\frac{1}{b} + \ln \frac{1}{b^2} > \frac{1}{b^2} + \ln \frac{1}{b^2}$。
故有：
$$ e^{-a} - a > e^{\ln \frac{1}{b^2}} + \ln \frac{1}{b^2} $$
构造函数：
令 $f(x) = e^x + x$，易知 $f(x)$在$\mathbb{R}$ 上单调递增。
上述不等式可写为：
$$ f(-a) > f\left(\ln \frac{1}{b^2}\right) $$
得出结论：
由单调性得 $-a > \ln \frac{1}{b^2}$，即 $-a > -\ln b^2$。
进一步化简：$a < \ln b^2 \implies e^a < b^2$。
法二：对数同构法
变形等式：
同理可得 $e^{-a} - a = \frac{1}{b} + \ln \frac{1}{b^2}$。
放缩与转化：
因为 $b > 1$，所以 $\frac{1}{b} + \ln \frac{1}{b^2} > \frac{1}{b^2} + \ln \frac{1}{b^2}$。
则有 $e^{-a} + \ln e^{-a} > \frac{1}{b^2} + \ln \frac{1}{b^2}$。
构造函数：
令 $g(x) = x + \ln x$，易知 $g(x)$在$(0, +\infty)$ 上单调递增。
不等式可写成 $g(e^{-a}) > g\left(\frac{1}{b^2}\right)$。
得出结论：
由于 $e^{-a} > 0$且$\frac{1}{b^2} > 0$，由单调性得 $e^{-a} > \frac{1}{b^2}$。
整理得 $e^a < b^2$。
[!tip] 解题关键
这种题目的核心在于**“凑型”**。观察等式两边，尝试将变量 $a$与$b$整理成结构完全一致的代数式。在本题中，将$a$处理成$-a$是为了配合$e^{-a}$ 的结构，从而成功构造增函数。
5
若函数 $f(x) = \ln \frac{x-m}{x} + nx \quad (m, n \in \mathbb{R})$的图像关于点$(1, -1)$对称，则$mn =$ ______
答案： $-2$
知识点
中心对称的定义： 若 $f(x)$关于点$(a, b)$对称，则$f(x) + f(2a-x) = 2b$。
对数函数定义域： 对称中心往往与定义域的对称中心一致。
待定系数法： 通过特殊点或恒等式求解参数 $m, n$。
详细题解
方法一：对称点公式法（通用解法）
设点求解：
设 $P(x_0, y_0)$为$f(x)$图像上任意一点，则其关于点$(1, -1)$的对称点为$Q(2-x_0, -2-y_0)$。
列方程组：
根据对称性，点 $Q$也在函数$f(x)$ 的图像上：
$$ \begin{cases} y_0 = \ln \frac{x_0-m}{x_0} + nx_0 \\ -2 - y_0 = \ln \frac{2-x_0-m}{2-x_0} + n(2-x_0) \end{cases} $$
相加消元：
两式相加得：$-2 = \ln \left( \frac{x_0-m}{x_0} \cdot \frac{2-x_0-m}{2-x_0} \right) + 2n$。
即 $\ln \frac{(x_0-m)(2-x_0-m)}{x_0(2-x_0)} + 2(n+1) = 0$ 恒成立。
系数匹配：
要使上式对任意 $x_0$ 恒成立，需满足：
$n + 1 = 0 \implies n = -1$。
$\frac{(x_0-m)(2-x_0-m)}{x_0(2-x_0)} = 1 \implies m(m-2) = 0$。
检验与结论：
若 $m=0$，$f(x)=-x$（定义域不合），舍去。
若 $m=2$，$n=-1$，符合题意。
最终结果：$mn = 2 \times (-1) = -2$。
方法二：定义域对称性法（快速解法）
定义域分析：
由于 $f(x)$关于$(1, -1)$对称，其定义域$\frac{x-m}{x} > 0$也必须关于$x=1$对称。$\frac{x-m}{x} > 0$的解集关于$x=1$对称，直接可得$m=2$。
平移转化：
将函数向左平移 $1$个单位，向上平移$1$ 个单位，得到的新函数应为奇函数。
令 $g(x) = f(x+1) + 1 = \ln \frac{x+1-2}{x+1} + n(x+1) + 1 = \ln \frac{x-1}{x+1} + nx + (n+1)$。
奇函数性质：
要使 $g(x)$为奇函数，常数项必须为$0$，即 $n+1=0 \implies n=-1$。
此时 $mn = -2$。
[!abstract] 核心总结
函数 $f(x)$关于点$(a, b)$对称的本质是：自变量之和为$2a$时，函数值之和为$2b$。在处理对数复合函数时，先观察定义域的对称中心往往能快速锁定参数 $m$。
6
一种游戏规则如下：投掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面分别标注的点数为 $1, 2, 3, 4, 5, 6$），若掷出的点数为 $6$，则游戏终止；否则一直进行投掷，直到掷出的点数为 $6$。规定最多投掷 $n$次游戏强制终止。记$X$为投掷骰子的总次数，则$X$的数学期望$E(X) =$______（用含$n$ 的式子表示）。
答案： $6 - 5 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}$
知识点
离散型随机变量的期望： $E(X) = \sum p_i x_i$。
等比数列求和： 用于化简期望表达式。
错位相减法： 处理形如“等差 $\times$ 等比”数列求和的标准方法。
详细题解
1. 概率分布分析
由题意知，每次投掷骰子掷出 $6$点的概率为$p = \frac{1}{6}$，未掷出 $6$点的概率为$q = \frac{5}{6}$。
随机变量 $X$的可能取值为$1, 2, \dots, n$。
- 当 $1 \le k < n$时，表示前$k-1$次均未掷出$6$，第 $k$次恰好掷出$6$：
$$ P(X = k) = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \times \frac{1}{6} $$
- 当 $k = n$时，表示前$n-1$次均未掷出$6$（无论第 $n$次是否为$6$ 游戏都必须停止）：
$$ P(X = n) = \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} $$
2. 列出期望公式
$$ E(X) = \frac{1}{6} \times 1 + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times 2 + \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} \times 3 + \dots + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} \times \frac{1}{6} \times (n-1) + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \times n $$
3. 错位相减法求和
将上式左右两侧同乘以 $\frac{5}{6}$，得：
$$ \frac{5}{6}E(X) = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times 1 + \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} \times 2 + \dots + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \times \frac{1}{6} \times (n-1) + \left(\frac{5}{6}\right)^n \times n $$
两式作差得：
$$ \frac{1}{6}E(X) = \frac{1}{6} \times \left[ 1 + \frac{5}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^2 + \dots + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} \right] + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \times n - \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \times \frac{1}{6}(n-1) - \left(\frac{5}{6}\right)^n \times n $$
4. 化简结论
利用等比数列求和公式并整理各项：
$$ E(X) = 1 + \frac{5}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^2 + \dots + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \times 6n - \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \times (n-1) - \left(\frac{5}{6}\right)^n \times 6n $$
最终化简结果为：
$$ E(X) = 6 - 5 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} $$
经检验，$n=1$时$E(X)=1$ 符合上式。
7
函数 $f(x, y) = \sin x \cdot \sqrt{\cos y} + \cos x \cdot \sqrt{\sin y}$ 的最大值为（ ）
A. $1$B.$\sqrt[4]{2}$C.$\sqrt{2}$D.$2$
正确答案： B
知识点
向量的数量积公式： $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cos \theta$。
柯西不等式（向量形式）： $\vec{m} \cdot \vec{n} \le |\vec{m}| \cdot |\vec{n}|$。
辅助角公式： $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$。
详细解析
1. 构造向量
为了利用向量的数量积性质，我们可以将函数式拆解为两个向量的点积形式。
设向量：
- $\vec{m} = (\cos x, \sin x)$-$\vec{n} = (\sqrt{\sin y}, \sqrt{\cos y})$
则原函数可以表示为：
$$ f(x, y) = \vec{m} \cdot \vec{n} = \cos x \cdot \sqrt{\sin y} + \sin x \cdot \sqrt{\cos y} $$
2. 利用向量模的不等式
根据向量数量积性质 $\vec{m} \cdot \vec{n} \le |\vec{m}| \cdot |\vec{n}|$，当且仅当两向量共线同向时取得最大值：
首先计算向量的模：
- $|\vec{m}| = \sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x} = 1$-$|\vec{n}| = \sqrt{(\sqrt{\sin y})^2 + (\sqrt{\cos y})^2} = \sqrt{\sin y + \cos y}$
因此：
$$ f(x, y) \le 1 \cdot \sqrt{\sin y + \cos y} $$
3. 求解最大值
利用辅助角公式处理 $\sin y + \cos y$：
$$ \sin y + \cos y = \sqrt{2}\sin(y + \varphi) \le \sqrt{2} $$
（其中 $\tan \varphi = 1$，即 $\varphi = \frac{\pi}{4}$）
将此结果代入前面的不等式中：
$$ f(x, y) \le \sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2} $$
故选 B。
辅助角公式法
1. 变形函数结构
我们可以把函数 $f(x, y)$看作关于$x$ 的三角函数合成：
$$ f(x, y) = (\sqrt{\cos y}) \sin x + (\sqrt{\sin y}) \cos x $$
这符合 $a \sin x + b \cos x$的形式，其中$a = \sqrt{\cos y}$，$b = \sqrt{\sin y}$。
2. 寻找关于 $x$ 的极大值
根据辅助角公式，对于固定的 $y$，当 $x$ 变化时，$f(x, y)$ 的最大值为：
$$ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{\cos y})^2 + (\sqrt{\sin y})^2} $$
简化后得到：
$$ f(x, y)_{max(x)} = \sqrt{\cos y + \sin y} $$
3. 求所得表达式的最大值
现在问题变成了：求 $g(y) = \sqrt{\sin y + \cos y}$ 的最大值。
我们再次对根号内部使用辅助角公式：
$$ \sin y + \cos y = \sqrt{2} \sin(y + \frac{\pi}{4}) $$
由于 $\sin(y + \frac{\pi}{4})$的最大值是$1$，所以：
$$ \sin y + \cos y \le \sqrt{2} $$
4. 得出最终结果
代入原式，得到函数 $f(x, y)$ 的全局最大值为：
$$ f(x, y) \le \sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2} $$
8
“东数西算”是一项国家战略工程。某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择：
方式一： 仅根据单位算力支付费用。
方式二： 租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用。
下表列出了该公司调查 $A、B、C$ 三个公司在不同算力需求下的整体费用最少租赁方案：
| 公司 | 算力 (PetaFLOPS) | 租赁最少费用 |
|---|---|---|
| $A$ 公司 | $2000$ | $120$ 万元 |
| $B$ 公司 | $4000$ | $180$ 万元 |
| $C$ 公司 | $6000$ | $220$ 万元 |
当该公司有 $8000$ (PetaFLOPS) 算力需求时，最优方案所需费用为（ ）
A. $240$ 万元
B. $260$ 万元
C. $280$ 万元
D. $300$ 万元
正确答案： B
知识点
分段函数模型： 比较线性模型 $y = a_1 x$与截距模型$y = a_2 x + t$。
最优化逻辑： 通过已知最优解反推各方案的成本系数。
逻辑推理能力： 利用等差数列的矛盾点排除不合理的假设。
详细解析
1. 建立数学模型
设单位算力费用为 $a_1$万元（方式一），租用超级计算机费用为$t$万元，此时单位算力费用为$a_2$ 万元（方式二）。
总费用计算公式如下：
方案一：$f_1(x) = a_1 x$
方案二：$f_2(x) = a_2 x + t$最优方案即为$\min{f_1(x), f_2(x)}$。
2. 确定租赁组合
根据题目给出的 $A、B、C$ 三家公司数据：
| 公司 | 运算量付费 (f1) | 租赁方式付费 (f2) | 租赁最少费用 |
|---|---|---|---|
| $A$ 公司 | $2000a_1$ | $2000a_2 + t$ | $120$ 万元 |
| $B$ 公司 | $4000a_1$ | $4000a_2 + t$ | $180$ 万元 |
| $C$ 公司 | $6000a_1$ | $6000a_2 + t$ | $220$ 万元 |
逻辑分析： 若三家公司都选方式一，则总费用应成等差数列（$120, 240, 360$），与题干不符。同理，若都选方式二，总费用也应成等差数列（间隔应一致），但实际间隔为 $60$和$40$，出现矛盾。
推断： 必然有某公司是根据“方式一”付费，而其他公司根据“方式二”付费。
经计算排除，若 $A$ 公司采用方式一，$B、C$ 公司采用方式二，逻辑成立：
- $2000a_1 = 120 \implies a_1 = \frac{6}{100}$2.$4000a_2 + t = 180$3.$6000a_2 + t = 220$
3. 求解参数
联立方程 (2) 和 (3)：
- $(6000a_2 + t) - (4000a_2 + t) = 220 - 180 \implies 2000a_2 = 40 \implies a_2 = \frac{2}{100}$- 代入求得$t = 180 - 4000 \times \frac{2}{100} = 100$
4. 计算 8000 算力下的最优解
当算力需求 $x = 8000$ 时：
方式一： $8000 \times a_1 = 8000 \times \frac{6}{100} = 480$ 万元
方式二： $8000 \times a_2 + t = 8000 \times \frac{2}{100} + 100 = 160 + 100 = 260$ 万元
结论： 最优方案费用为 $\min{480, 260} = 260$ 万元。
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CBA 季后赛总决赛在甲、乙两支球队间进行，总决赛采用七局四胜制（$7$场$4$ 胜），总决赛的主场优势授予常规赛排名更高的球队，采用“$2-2-1-1-1$”的主客场安排（即排名高的球队先打两个主场，然后是对手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场）。
设甲队主场取胜的概率为 $0.6$，客场取胜的概率为 $0.5$，且各场比赛结果相互独立。若甲队常规赛排名更高，那么甲队以 $4:2$ 获胜的概率是 ______。
答案： $0.171$
知识点
独立事件的乘法公式： 用于计算特定比赛序列的概率。
互斥事件的加法公式： 用于合并多种符合条件的获胜情况。
$n$局$m$胜制逻辑： 若甲队以$4:2$获胜，意味着前$5$场比赛中甲队赢了$3$场，且第$6$ 场甲队必胜。
详细解析
1. 赛程分布分析
根据“$2-2-1-1-1$”的主客场规则，甲队在前 $6$ 场比赛中的主客场分布如下：
第 1, 2, 5 场： 甲队主场（胜率 $0.6$，负率 $0.4$）。
第 3, 4, 6 场： 甲队客场（胜率 $0.5$，负率 $0.5$）。
2. 获胜条件拆解
若甲队以 $4:2$ 获胜，需满足两个核心条件：
前 5 场比赛： 甲队累计赢下 $3$场，输掉$2$ 场。
第 6 场比赛： 甲队（客场）必须取胜。
3. 分情况讨论前 5 场的胜负
前 $5$场中，甲队有$3$个主场和$2$个客场。赢$3$ 场的情况可以细分为以下三类：
情况一：3 个主场全胜，2 个客场全负
概率 $P_1 = (0.6^3) \times (0.5^2) \times 0.5 = 0.216 \times 0.25 \times 0.5 = 0.027$。
情况二：3 个主场 2 胜 1 负，2 个客场 1 胜 1 负
主场获胜概率：$C_3^2 \times 0.6^2 \times 0.4$
客场获胜概率：$C_2^1 \times 0.5^1 \times 0.5^1$
第 6 场取胜：$0.5$概率$P_2 = (C_3^2 \times 0.6^2 \times 0.4) \times (C_2^1 \times 0.5 \times 0.5) \times 0.5 = 0.432 \times 0.5 \times 0.5 = 0.108$。
情况三：3 个主场 1 胜 2 负，2 个客场全胜
主场获胜概率：$C_3^1 \times 0.6 \times 0.4^2$
客场获胜概率：$0.5^2$
第 6 场取胜：$0.5$概率$P_3 = (C_3^1 \times 0.6 \times 0.4^2) \times (0.5 \times 0.5) \times 0.5 = 0.288 \times 0.25 \times 0.5 = 0.036$。
4. 汇总计算
综上所述，甲队以 $4:2$ 获胜的总概率为：
$$ P = P_1 + P_2 + P_3 = 0.027 + 0.108 + 0.036 = 0.171 $$
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在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为 $\sqrt{5}$”是“渐近线方程为 $y = \pm 2x$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
正确答案： D
知识点
双曲线标准方程： 焦点在 $x$轴$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$与焦点在$y$轴$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$。
渐近线方程： 焦点在 $x$轴时$y = \pm \frac{b}{a}x$；焦点在 $y$轴时$y = \pm \frac{a}{b}x$。
离心率公式： $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + (\frac{b}{a})^2}$。
逻辑用语： 充分条件与必要条件的判定。
详细解析
1. 由“渐近线”推“离心率”（判定必要性）
若双曲线的渐近线方程为 $y = \pm 2x$：
当焦点在 $x$轴时：$\frac{b}{a} = 2$，则 $e = \sqrt{1 + 2^2} = \sqrt{5}$。
当焦点在 $y$轴时：$\frac{a}{b} = 2 \implies \frac{b}{a} = \frac{1}{2}$，则 $e = \sqrt{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
结论： 渐近线确定时，离心率有两个可能值值，不能推出离心率必为 $\sqrt{5}$。故不满足必要性。
2. 由“离心率”推“渐近线”（判定充分性）
若双曲线的离心率 $e = \sqrt{5}$：
由 $e^2 = 1 + (\frac{b}{a})^2 = 5$得$(\frac{b}{a})^2 = 4$，即 $\frac{b}{a} = 2$。
若焦点在 $x$轴： 渐近线为$y = \pm \frac{b}{a}x = \pm 2x$。
若焦点在 $y$轴： 渐近线为$y = \pm \frac{a}{b}x = \pm \frac{1}{2}x$。
结论： 离心率确定时，渐近线方程由于焦点位置不确定也有两种可能，不能推出必为 $y = \pm 2x$。故不满足充分性。
3. 最终判定
因为既不能从左推向右，也不能从右推向左，所以该条件是既不充分又不必要条件。
[!warning] 避坑指南
很多同学会默认双曲线焦点在 $x$轴，从而误选。在处理圆锥曲线题目时，如果没有明确说明焦点位置，考虑$x$轴和$y$ 轴两种情况是必须具备的思维习惯。
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某 AI（人工智能）机器人进行射门游戏，射中得 $1$分，未射中得$-1$分。当累计得分$X$达到$2$分（获胜）或$-2$分（落败）时游戏结束，否则游戏将一直进行下去。已知该 AI 机器人射门的命中率为$\alpha$ ($\frac{1}{2} \le \alpha < 1$)，各次射门相互独立。
求机器人恰好射门 $4$ 次后获胜的概率；
设 $A_n$表示“机器人射门$n$ 次，游戏仍未结束”。
(i) 若 $\alpha = \frac{1}{2}$，求 $P(A_2 | A_1)$和$P(A_{2k+2} | A_{2k+1})$ ($k \in \mathbb{N}^*$)；
(ii) 若 $P(A_{2k+2} | A_{2k}) = \frac{4}{9}$ ($k \in \mathbb{N}^*$)，求游戏结束时 $X$ 的数学期望。
答案：
(1) $P = 2\alpha^3(1-\alpha)$(2) (i)$\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$；(ii) $E(X) = \frac{6}{5}$
详细解析
1. 恰好 4 次获胜的概率
若机器人恰好在第 $4$ 次获胜，则前两次必须是一中一负（顺序不计），且最后两场必须连续射中。
前两次一中一负的概率：$C_2^1 \cdot \alpha \cdot (1-\alpha) = 2\alpha(1-\alpha)$
后两次连续射中的概率：$\alpha^2$- 计算：$P = 2\alpha(1-\alpha) \cdot \alpha^2 = 2\alpha^3(1-\alpha)$
2. 条件概率分析 (i)
当 $\alpha = \frac{1}{2}$ 时：
$P(A_1) = 1$（第 $1$次射门无论中否，累计得分必为$1$或$-1$，游戏均未结束）
$P(A_2)$表示前两次为一中一负，概率为$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$- 结论：$P(A_2 | A_1) = \frac{P(A_2)}{P(A_1)} = \frac{1}{2}$- 同理，若第$2k+1$次游戏未结束，则第$2k+2$次不结束的条件是该次投篮与上一次结果相反，概率仍为$\frac{1}{2}$。
3. 数学期望求解 (ii)
已知 $P(A_{2k+2} | A_{2k}) = \frac{4}{9}$，这意味着每进行两次射门，游戏不结束的概率是 $\frac{4}{9}$。
求命中率 $\alpha$：
两次射门后游戏不结束意味着结果为“一中一负”，概率为 $2\alpha(1-\alpha) = \frac{4}{9}$。
解方程得 $\alpha = \frac{2}{3}$（舍去 $\frac{1}{3}$，因 $\alpha \ge \frac{1}{2}$）。
求获胜概率 $p = P(X=2)$：
设获胜概率为 $p$。根据全概率公式，第一次射中（概率 $\frac{2}{3}$）后，若第二次再中（概率 $\frac{2}{3}$）则直接获胜；若第二次未中（概率 $\frac{1}{3}$），则回到起始状态。
$$ p = \frac{2}{3}(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}p) + \frac{1}{3}(\frac{2}{3}p) $$
解得 $p = \frac{4}{5}$，则落败概率 $P(X=-2) = \frac{1}{5}$。
- 计算期望：
$$ E(X) = 2 \times \frac{4}{5} + (-2) \times \frac{1}{5} = \frac{8-2}{5} = \frac{6}{5} $$
[!abstract] 深度总结
本题的难点在于状态转移的思想。在求解期望时，并不需要列出无限项的分布列，而是通过建立关于获胜概率 $p$ 的方程（递推关系）来直接锁定最终胜负的分布，这在处理循环或无限过程的概率题中是非常高级且通用的技巧。
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已知函数 $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + \ln x - ax$。
若函数 $f(x)$在点$(1, f(1))$处的切线经过点$(-1, 1)$，求 $a$ 的值；
若 $a > \frac{1}{2}$，证明：$f(x) < 1$ 恒成立；
试求出正整数 $a$的最小值，使$f(x)$ 存在唯一的极值点。
正确答案：
(1) $a = 2$
(2) 证明见下文
(3) 最小正整数 $a = 2$
详细解析
第一部分：切线方程求参数 $a$1. 求导函数： 对$f(x)$求导得$f’(x) = \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) + \frac{1}{x} - a$。
计算切点斜率与纵坐标：
当 $x=1$时，斜率$k = f’(1) = \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{1} - a = 1 - a$。
切点纵坐标 $f(1) = \sin\frac{\pi}{2} + \ln 1 - a = 1 - a$。
构建切线方程： 切线方程为 $y - (1-a) = (1-a)(x-1)$，化简得 $y = (1-a)x$。
代入已知点： 将 $(-1, 1)$代入方程得$1 = (1-a)(-1)$，解得 $a = 2$。
第二部分：不等式 $f(x) < 1$ 的证明
利用放缩法： 因为 $\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \le 1$，且已知 $a > \frac{1}{2}$，则 $-ax < -\frac{1}{2}x$。
构造辅助函数： $f(x) < 1 + \ln x - \frac{1}{2}x$。
设 $g(x) = \ln x - \frac{1}{2}x + 1$。
求 $g(x)$ 的最大值：
$g’(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2}$。
当 $x \in (0, 2)$ 时，$g’(x) > 0$，函数单调递增；
当 $x \in (2, +\infty)$ 时，$g’(x) < 0$，函数单调递减。
故 $g(x)_{max} = g(2) = \ln 2 - 1 + 1 = \ln 2$。
结论： 因为 $\ln 2 < 1$，所以 $f(x) < g(x) \le \ln 2 < 1$，即 $f(x) < 1$ 恒成立。
第三部分：正整数 $a$ 的最小值（极值点唯一性）
我们需要讨论 $f’(x) = \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) + \frac{1}{x} - a = 0$ 的根（即极值点）的个数。
当 $a = 1$ 时：
设 $\varphi(x) = f’(x)$。显然 $\varphi(1) = \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + 1 - 1 = 0$，即 $x=1$ 是一个极值点。
检查其他区间：$\varphi(2) = \frac{\pi}{2}(-1) + \frac{1}{2} - 1 < 0$，而 $\varphi(4) = \frac{\pi}{2}(1) + \frac{1}{4} - 1 = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{4} > 0$。
根据零点存在性定理，在 $(2, 4)$内必存在另一个零点，此时极值点不唯一。故$a=1$ 不符。
当 $a = 2$ 时：
在 $x \in (0, 2]$ 时：
二阶导数 $f’’(x) = -\frac{\pi^2}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) - \frac{1}{x^2}$。
当 $x \in (0, 2)$ 时，$\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) > 0$，故 $f’’(x) < 0$ 恒成立，$f’(x)$在$(0, 2]$ 单调递减。
又 $f’(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} + 2 - 2 > 0$且$f’(1) = 1 - 2 = -1 < 0$。
所以 $f’(x)$在$(0, 2]$ 内有且仅有一个零点。
在 $x \in (2, 3]$ 时：
$\pi < \frac{\pi}{2}x \le \frac{3\pi}{2}$，此时 $\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) < 0$。
则 $f’(x) = \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) + \frac{1}{x} - 2 < 0 + \frac{1}{2} - 2 < 0$，无零点。
在 $x \in (3, +\infty)$ 时：
- $f’(x) \le \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} - 2 = \frac{\pi}{2} - \frac{5}{3} = \frac{3\pi - 10}{6} < 0$，无零点。
最终结论： 当 $a=2$时，极值点唯一。正整数$a$的最小值为$2$。
[!abstract]
这类题目的难点在于区间拆分。在证明极值点唯一时，不能仅靠直觉，必须通过求导证明某个区间单调（有且仅有一个根），并结合放缩法证明其他区间“绝对无根”。