一

设 $V = \mathbb{F}{13}^3$是有限域$\mathbb{F}{13}$ 上的三维向量空间。给定矩阵：

$$ A = \begin{bmatrix} 5 & 7 & 7 \\ 12 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 9 \end{bmatrix} \pmod{13} $$

1. 对角化判定判断矩阵 $A$能否在域$\mathbb{F}_{13}$ 上对角化，并说明理由。

2. 矩阵的阶与可逆性证明 $A$是可逆矩阵，并求出最小的正整数$d$，使得：

$$ A^d = I $$

（其中 $I$ 为单位矩阵）。

3. 向量等价关系与轨道分解设 $\alpha, \beta \in \mathbb{F}_{13}^3$。若存在非负整数 $k, l \ge 0$，使得：

$$ A^k \alpha = \beta \quad \text{且} \quad A^l \beta = \alpha $$

则称 $\alpha$与$\beta$等价，记作$\alpha \sim \beta$。证明：“$\sim$” 是向量空间 $\mathbb{F}{13}^3$上的一个等价关系。向量空间$\mathbb{F}{13}^3$被划分为几个等价类？每个等价类（称为一条$A$-轨道）分别包含几个向量？哪些等价类的并集能够构成 $\mathbb{F}_{13}^3$ 的子空间？

这道题的本质，其实是：

有限域上线性变换 = 对角化 + 有限乘法群 + 群作用轨道分解

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一、谱结构

设

$$ A = \begin{bmatrix} 5 & 7 & 7 \\ 12 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 9 \end{bmatrix} \pmod{13} $$

特征多项式为：

$$ \chi_A(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)^2 $$

因此：

• 特征值：$1$（重数1），$2$（重数2）
• 几何重数：
  • $\dim E_1 = 1$-$\dim E_2 = 2$

故：

$$ V = \mathbb{F}_{13}^3 = E_1 \oplus E_2 $$

且 $A$ 可对角化。

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二、矩阵的阶

由于

$$ A \sim \operatorname{diag}(1,2,2) $$

所以：

$$ A^d = I \iff 2^d = 1 \ (\bmod 13) $$

在 $\mathbb{F}_{13}^\times$ 中：

• 群阶：12
• $2$ 的阶为：12

因此：

$$ \boxed{A^{12} = I} $$

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三、群作用视角

考虑循环群：

$$ \langle A \rangle \cong C_{12} $$

作用在 $V$ 上：

$$ A^k(v_1 + v_2) = v_1 + 2^k v_2 \quad (v_1 \in E_1,\ v_2 \in E_2) $$

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四、轨道结构

1. $E_1$（特征值 1）

$$ Av_1 = v_1 $$

👉 每个向量都是不动点

• 向量数：13
• 轨道数：13（每个大小1）

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2. $v_2 \neq 0$ 的向量

设：

$$ v = v_1 + v_2,\quad v_2 \neq 0 $$

轨道为：

$$ \{\, v_1 + 2^k v_2 \mid k=0,\dots,11 \,\} $$

由于：

$$ \operatorname{ord}(2) = 12 $$

👉 每个轨道大小为 12

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向量总数

• $|E_2^\times| = 13^2 - 1 = 168$-$v_1$ 可任取：13 种

所以：

$$ \text{总数} = 13 \times 168 = 2184 $$

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轨道数

$$ \frac{2184}{12} = 182 $$

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五、总轨道数

两种等价写法：

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写法 A（推荐）

$$ 13 + 182 = \boxed{195} $$

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写法 B（分零向量）

$$ 1 + 12 + 182 = \boxed{195} $$

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六、结构直观

整个空间可以理解为：

• $E_1$：静止方向
• $E_2$：12周期旋转

于是：

每个轨道 = 一个“圆”（来自 $E_2$）
被 $E_1$ 平移

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更精确地：

• $E_2$ 中有 14 个轨道（每个12个点）
• 每个轨道被 $E_1$ 平移 13 次

$$ 14 \times 13 = 182 $$

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七、等价类与子空间

等价类（轨道）的并构成子空间
⇔ 该子空间 在 $A$ 下不变

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所有 $A$-不变子空间

由于：

$$ V = E_1 \oplus E_2 $$

所有不变子空间形如：

$$ W = W_1 \oplus W_2 $$

其中：

• $W_1 \subseteq E_1$（2种）
• $W_2 \subseteq E_2$（16种）

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子空间总数

$$ 2 \times 16 = \boxed{32} $$

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分类

• ${0}$-$E_1$-$E_2$-$V$-$E_2$ 的 14 条直线
• $E_1 \oplus L$（$L \subset E_2$）

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八、核心思想总结

这道题的本质统一为：

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1️⃣ 对角化

$$ A \sim \operatorname{diag}(1,2,2) $$

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2️⃣ 有限域乘法群

$$ \mathbb{F}_{13}^\times \cong C_{12} $$

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3️⃣ 群作用

$$ A^k(v_1+v_2) = v_1 + 2^k v_2 $$

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4️⃣ 轨道结构

• $E_1$：不动点
• $E_2$：12周期
• 总体：平移后的周期轨道

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🌌 一句话总结

这是一个“静止方向 + 旋转方向”的系统，
所有轨道都是“旋转轨道的平移”。

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二

设 $A, B$分别是$m, n$阶复矩阵，其特征值分别为$\lambda_1, \dots, \lambda_m$与$\mu_1, \dots, \mu_n$。定义映射 $\mathcal{S}$为矩阵空间$M_{m,n}(\mathbb{C})$ 上的变换：

$$ \mathcal{S} : X \mapsto AX - XB + AXB^2 $$

1. 线性变换证明证明 $\mathcal{S}$是矩阵空间$M_{m,n}(\mathbb{C})$上的线性变换。2) 特征值求解求变换$\mathcal{S}$的所有特征值，并用$A$和$B$的特征值表示。3) 对角化与特征向量设$A, B$ 均可对角化，$\alpha_i$为$A$属于特征值$\lambda_i$ 的（右）特征向量，$\beta_j$为$B^T$属于特征值$\mu_j$的（右）特征向量。证明$\mathcal{S}$在$M_{m,n}(\mathbb{C})$上可对角化。写出$\mathcal{S}$ 属于各特征值的特征向量。

1) 线性变换证明

证明 $\mathcal{S}$ 是线性变换：

对于任意 $X, Y \in M_{m,n}(\mathbb{C})$和任意$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$，需要验证：

$$ \mathcal{S}(\alpha X + \beta Y) = \alpha \mathcal{S}(X) + \beta \mathcal{S}(Y) $$

计算左边：

$$ \mathcal{S}(\alpha X + \beta Y) = A(\alpha X + \beta Y) - (\alpha X + \beta Y)B + A(\alpha X + \beta Y)B^2 $$

展开：

$$ = \alpha AX + \beta AY - \alpha XB - \beta YB + \alpha AXB^2 + \beta AYB^2 $$

$$ = \alpha(AX - XB + AXB^2) + \beta(AY - YB + AYB^2) $$

$$ = \alpha \mathcal{S}(X) + \beta \mathcal{S}(Y) $$

因此 $\mathcal{S}$ 是线性变换。 ∎

2) 特征值求解

关键观察： 将 $\mathcal{S}$ 改写为：

$$ \mathcal{S}(X) = AX(I + BB) - XB = AX(I + B^2) - XB $$

更清晰地写成：

$$ \mathcal{S}(X) = A X (I_n + B^2) - X B $$

这类似于Sylvester变换的形式。利用Kronecker积向量化：

$$ \text{vec}(\mathcal{S}(X)) = \left[(I_n + B^2)^T \otimes A - B^T \otimes I_m\right] \text{vec}(X) $$

计算 $\mathcal{S}$ 的特征值：

设 $\lambda_i$是$A$ 的特征值，$\mu_j$是$B$的特征值（从而也是$B^T$ 的特征值）。

对于 Kronecker 积，有以下性质：

• $(I_n + B^2)^T = I_n + (B^T)^2$的特征值为$1 + \mu_j^2$（对应特征向量与 $B^T$ 相同）

因此变换矩阵的特征值为：

$$ \boxed{\nu_{ij} = (1 + \mu_j^2)\lambda_i - \mu_j = \lambda_i + \lambda_i \mu_j^2 - \mu_j} $$

其中 $i = 1, \ldots, m$，$j = 1, \ldots, n$。

$\mathcal{S}$ 的所有特征值为：

$$ \nu_{ij} = \lambda_i(1 + \mu_j^2) - \mu_j, \quad i=1,\ldots,m,\; j=1,\ldots,n $$

3) 对角化与特征向量

证明 $\mathcal{S}$ 可对角化：

已知 $A$和$B$ 均可对角化，则：

• $A = P\Lambda P^{-1}$，其中 $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_m)$-$B = QMQ^{-1}$，其中 $M = \text{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)$构造$\mathcal{S}$ 的特征向量：

设 $\alpha_i \in \mathbb{C}^m$是$A$属于$\lambda_i$ 的右特征向量：$A\alpha_i = \lambda_i \alpha_i$设$\beta_j \in \mathbb{C}^n$是$B^T$属于$\mu_j$ 的右特征向量：$B^T\beta_j = \mu_j \beta_j$，即 $\beta_j^T B = \mu_j \beta_j^T$定义矩阵$E_{ij} = \alpha_i \beta_j^T \in M_{m,n}(\mathbb{C})$验证$E_{ij}$是$\mathcal{S}$ 的特征向量：

计算 $\mathcal{S}(E_{ij})$：

$$ \mathcal{S}(\alpha_i \beta_j^T) = A(\alpha_i \beta_j^T) - (\alpha_i \beta_j^T)B + A(\alpha_i \beta_j^T)B^2 $$

逐项计算：

• $A(\alpha_i \beta_j^T) = (A\alpha_i)\beta_j^T = \lambda_i \alpha_i \beta_j^T$-$(\alpha_i \beta_j^T)B = \alpha_i (\beta_j^T B) = \alpha_i (\mu_j \beta_j^T) = \mu_j \alpha_i \beta_j^T$-$A(\alpha_i \beta_j^T)B^2 = (A\alpha_i)(\beta_j^T B^2) = \lambda_i \alpha_i \cdot \mu_j^2 \beta_j^T = \lambda_i \mu_j^2 \alpha_i \beta_j^T$

因此：

$$ \mathcal{S}(E_{ij}) = \lambda_i E_{ij} - \mu_j E_{ij} + \lambda_i \mu_j^2 E_{ij} = (\lambda_i - \mu_j + \lambda_i \mu_j^2)E_{ij} $$

$$ \boxed{\mathcal{S}(E_{ij}) = \left[\lambda_i(1 + \mu_j^2) - \mu_j\right] E_{ij}} $$

结论：

• $E_{ij} = \alpha_i \beta_j^T$是$\mathcal{S}$属于特征值$\nu_{ij} = \lambda_i(1+\mu_j^2) - \mu_j$ 的特征向量
• 由于 $A, B$各有$m, n$个线性无关的特征向量，我们得到$mn$个矩阵$E_{ij}$，它们构成 $M_{m,n}(\mathbb{C})$的一组基（因为${\alpha_i}$和${\beta_j}$ 分别是基）
• 因此 $\mathcal{S}$ 可对角化 ∎

总结表格：

特征值	特征向量
$\nu_{ij} = \lambda_i(1+\mu_j^2) - \mu_j$	$E_{ij} = \alpha_i \beta_j^T$

其中 $i = 1,\ldots,m$，$j = 1,\ldots,n$。