定义
在单变量的微积分中，我们通过黎曼和定义了定积分，那同样，我们可以通过它定义多重积分：
二重积分的黎曼和定义：
$$ \iint_D f(x,y)\,dA =\lim_{\max \Delta S_{ij}\to 0} \sum_{i,j} f(\xi_{ij},\eta_{ij})\,\Delta S_{ij} $$
三重积分：
$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV =\lim_{\max \Delta V_{ijk}\to 0} \sum_{i,j,k} f(\xi_{ijk},\eta_{ijk},\zeta_{ijk})\,\Delta V_{ijk} $$
特征都差不多，同样是把一块区域划分成小块，从而化曲为直便于计算，也同样要求分割“直径”趋于0。
重积分的基本性质
这部分可以飞速浏览，几乎完全符合直觉（）
设 $f,g$在区域$D$（或 $\Omega$）上可积，$\lambda,\mu \in \mathbb{R}$。
1. 线性（Linearity）
$$ \iint_D (\lambda f + \mu g)\,dA = \lambda \iint_D f\,dA + \mu \iint_D g\,dA $$
三重积分同理：
$$ \iiint_\Omega (\lambda f + \mu g)\,dV = \lambda \iiint_\Omega f\,dV + \mu \iiint_\Omega g\,dV $$
本质：积分是“极限下的加权求和”，线性来自求和的线性。
2. 区域可加性（Additivity over domain）
若 $D = D_1 \cup D_2$且$D_1,D_2$ 内部不重叠，则
$$ \iint_D f\,dA = \iint_{D_1} f\,dA + \iint_{D_2} f\,dA $$
更一般：
$$ D = \bigcup_{k=1}^n D_k \quad (\text{两两内部不交}) \Rightarrow \iint_D f\,dA = \sum_{k=1}^n \iint_{D_k} f\,dA $$
本质：黎曼和可以拆块。
3. 保序性（Monotonicity）
若 $f(x,y) \le g(x,y)$，则
$$ \iint_D f\,dA \le \iint_D g\,dA $$
特别地：
$$ f(x,y) \ge 0 \Rightarrow \iint_D f\,dA \ge 0 $$
本质：每个小块上都不超过，总和自然不超过。
4. 估计（Bounding）
若
$$ m \le f(x,y) \le M $$
则
$$ m \cdot |D| \le \iint_D f\,dA \le M \cdot |D| $$
其中 $|D|$ 表示区域面积。
三维对应：
$$ m|\Omega| \le \iiint_\Omega f\,dV \le M|\Omega| $$
本质：函数被夹住 ⇒ 积分被夹住。
5. 绝对值不等式
$$ \left| \iint_D f\,dA \right| \le \iint_D |f|\,dA $$
本质：积分不会比“把每块都取绝对值再加”更大。
6. 积分中值定理（Integral Mean Value Theorem）
若 $f$在有界闭区域$D$上连续，则存在$(\xi,\eta)\in D$ 使得
$$ \iint_D f(x,y)\,dA = f(\xi,\eta)\cdot |D| $$
三维：
$$ \iiint_\Omega f\,dV = f(\xi,\eta,\zeta)\cdot |\Omega| $$
本质：积分 = “某个代表值 × 体积”。
7. 与常数函数的关系
$$ \iint_D 1\,dA = |D| $$
$$ \iiint_\Omega 1\,dV = |\Omega| $$
本质：积分统一了“面积/体积”的概念。
那么如何计算呢？我们先看看二维。
计算
我们会算的也就是一重积分，所以自然想到能不能把二重积分变成一重积分，这也就是所谓累次积分：
Fubini 定理（基本形式）：
$$ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \left(\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\,dy\right)\,dx $$
或
$$ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \left(\int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)\,dx\right)\,dy $$
分割
不过与一维情形不同，多个变量之间互相制约，所以积分上下限可能包含其他变量，这很多时候也是形式复杂的源头。
我们应该划分好区域，让变量上下界秩序分明：
I 型区域（竖切）：
$$ D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ c(x)\le y\le d(x)\} $$
对应
$$ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\,dy\,dx $$
II 型区域（横切）：
$$ D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\ a(y)\le x\le b(y)\} $$
对应
$$ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)\,dx\,dy $$
变量依赖关系（本质约束）：
$$ \text{内层积分变量的上下限可以含外层变量，但反之不行} $$
这样，再运用一次次定积分也就解决了所有问题。三维，乃至高维，也只是重复多次。
三重积分累次积分形式：
$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} \int_{e(x,y)}^{g(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx $$
换元
那么，我们也可以利用换元来简化积分。在一维中：
一维换元公式：
$$ \int f(x)\,dx = \int f(x(t))\,x'(t)\,dt $$
那么 $dxdy$ 怎么换呢？
设参数变换：
$$ (x,y) = (x(u,v),\,y(u,v)) $$
考虑微元变化：
$$ \mathbf r(u+du,v)\approx \mathbf r + \mathbf r_u\,du $$
$$ \mathbf r(u,v+dv)\approx \mathbf r + \mathbf r_v\,dv $$
则面积元为：
面积元（叉积形式）：
$$ dA = |\mathbf r_u \times \mathbf r_v|\,dudv $$
计算可得，这正是雅可比行列式：
雅可比行列式（二维）：
$$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} $$
于是得到：
二重积分换元公式：
$$ \iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| \,dudv $$
在三维中，我们则变成混合积：
$$ V = |\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})| $$
从而换元变成：
$$ \begin{aligned} dV' &= |(\mathbf{r}_u du) \cdot ((\mathbf{r}_v dv) \times (\mathbf{r}_w dw))| \\ &= |\mathbf{r}_u \cdot (\mathbf{r}_v \times \mathbf{r}_w)| \cdot du dv dw \end{aligned} $$
恰好也是雅可比行列式：
$$ \mathbf{r}_u \cdot (\mathbf{r}_v \times \mathbf{r}_w) = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix} $$
三维雅可比行列式：
$$ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w \end{vmatrix} $$
三重积分换元公式：
$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \iiint_{\Omega'} f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| \,dudvdw $$
我们可以计算常见坐标变换：
极坐标：
$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$
$$ dxdy = r\,dr\,d\theta $$
柱坐标：
$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z $$
$$ dV = r\,dr\,d\theta\,dz $$
球坐标：
$$ x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi $$
$$ dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$
一般维度也是雅可比行列式吗，我们可以这样看：
$$ \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix} $$
联系线性代数，我们知道行列式代表着体积，所以确实，对于一般的情形，直接上行列式就好了！
实操
那么我们便可以小结一下：
1.考虑对称，换元
2.划分变量区域
3.积分
我们来实操一下。
1. 考虑对称，简化被积函数
观察被积函数的分子 $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$。
由于积分区域 $\Omega$关于$Oyz$、$Oxz$和$Oxy$ 三个坐标面均具有对称性，根据奇函数在对称区域上的积分为零：
- 交叉项 $\iiint_{\Omega} 2xy , dV = \iiint_{\Omega} 2yz , dV = \iiint_{\Omega} 2zx , dV = 0$。
因此，复杂的分子被“脱壳”简化为径向平方和：
$$ f(x,y,z) = \frac{x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2} = \frac{1}{x^2+y^2+z^2} $$
2. 换元，划分变量区域
为了处理分母中的 $r^2$ 和区域的旋转对称性，引入球坐标换元：
- 球面： $\rho = 2$- 抛物面：$z = \frac{1}{3}(x^2+y^2) \implies \rho \cos\phi = \frac{1}{3}\rho^2 \sin^2\phi \implies \rho = \frac{3\cos\phi}{\sin^2\phi}$通过联立方程$2 = \frac{3\cos\phi}{\sin^2\phi}$，解得交线处的临界角 $\phi = \frac{\pi}{3}$。
据此，我们将积分区域 $\Omega$在$\phi$ 方向上划分为秩序分明的两部分：
区域 I ($0 \le \phi \le \frac{\pi}{3}$): 径向受限于球面，$0 \le \rho \le 2$。
区域 II ($\frac{\pi}{3} < \phi \le \frac{\pi}{2}$): 径向受限于抛物面，$0 \le \rho \le \frac{3\cos\phi}{\sin^2\phi}$。
3. 积分计算（Jacobi 抵消与分段累加）
利用球坐标体积元 $dV = \rho^2 \sin\phi , d\rho d\phi d\theta$，被积函数中的 $1/\rho^2$与 Jacobi 因子抵消，积分简化为对$\sin\phi$ 的分段累次积分：
$$ I = \int_{0}^{2\pi} d\theta \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} d\phi \int_{0}^{2} \sin\phi \, d\rho + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} d\phi \int_{0}^{\frac{3\cos\phi}{\sin^2\phi}} \sin\phi \, d\rho \right] $$
分步求解：
第一部分： $2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 2\sin\phi , d\phi = 4\pi [-\cos\phi]{0}^{\frac{\pi}{3}} = 4\pi (\frac{1}{2}) = 2\pi$- 第二部分：$2\pi \int{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\phi \cdot \frac{3\cos\phi}{\sin^2\phi} , d\phi = 6\pi \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos\phi}{\sin\phi} , d\phi = 6\pi [\ln(\sin\phi)]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$
代入得：$6\pi (\ln 1 - \ln \frac{\sqrt{3}}{2}) = -6\pi \ln \frac{\sqrt{3}}{2}$
最终结果：
$$ I = 2\pi - 6\pi \ln \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\pi \left( 1 - 3\ln\frac{\sqrt{3}}{2} \right) $$