之前的积分区域还算好看，但有时候我们需要在曲线、曲面上积分。
第一型曲线积分
1. 第一型曲线积分的定义
对于空间曲线 $L$，若其参数方程为：
$$ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} \quad t \in [\alpha, \beta], \quad \beta > \alpha $$
且满足 $x, y, z \in C^1([\alpha, \beta])$（一阶连续可导），且切向量 $(x’(t), y’(t), z’(t)) \neq \vec{0}$。
则函数 $f(x, y, z)$沿曲线$L$ 的第一型曲线积分为：
$$ \int_L f(x, y, z) \, ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \, dt $$
关键点： 积分路径是从 $A$点到$B$ 点，强调“无折返”。
2. 参数变换的不变性
引入新参数 $\tau$的情况。设$t = t(\tau)$，其中 $\tau \in [a, b]$。
情况 ①：$t’(\tau) > 0$（正向变换）
此时 $t(a) = \alpha$，$t(b) = \beta$。积分变换后：
$$ \int_a^b f(P(t(\tau))) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \cdot t'(\tau) \, d\tau $$
情况 ②：$t’(\tau) < 0$（逆向变换）
此时 $t(a) = \beta$，$t(b) = \alpha$。虽然积分限颠倒了，但由于弧微分 $ds$包含绝对值项$|t’(\tau)|$，最终结果依然保持一致：
$$ \int_a^b f(P(t(\tau))) \sqrt{(x')^2 + (y')^2 + (z')^2} \cdot |t'(\tau)| \, d\tau $$
这是第一型曲线积分的特性，无方向性，正着走反着走结果一样。
第二型曲线积分
一、 物理背景：变力做功
第二型曲线积分最直观的物理来源是计算一个变力 $\vec{F}$沿曲线$L$所做的功$W$。
- 离散化思想：将曲线划分为 $n$个微小段$\Delta \vec{r}_i$，在每一小段上力近似不变。
$$ W \approx \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i \cdot \Delta \vec{r}_i $$
- 极限过程：当切分无限细时，得到精确的功：
$$ W = \int_{L} \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{r} $$
二、 核心性质
类似其他积分：
- 线性（Linearity）：
$$ \int_{L} (a\vec{F} + b\vec{G}) \cdot d\vec{r} = a\int_{L} \vec{F} \cdot d\vec{r} + b\int_{L} \vec{G} \cdot d\vec{r} $$
- 有向性（Directionality）：这是与第一型积分最大的区别。
$$ \int_{A \to B} \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int_{B \to A} \vec{F} \cdot d\vec{r} $$
结论：积分结果取决于路径的方向，方向反转，结果取负。
分段可加性：
若路径 $C$由$C_1$和$C_2$ 首尾相连组成，则：
$$ \int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{C_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \int_{C_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} $$
三、 定义与表达形式
第二型曲线积分通常有三种等价的数学面孔：
向量形式：$\int_{L} \vec{F} \cdot d\vec{r}$
坐标形式（分量形式）：
设 $\vec{F} = (P, Q, R)$，位移元 $d\vec{r} = (dx, dy, dz)$，则：
$$ \int_{L} P \, dx + Q \, dy + R \, dz $$
- 与第一型的转换（投影形式）：
$$ \int_{L} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{L} (|\vec{F}| \cos \theta) \, ds $$
其中 $\theta$ 是力场与曲线切线方向的夹角。
四、 计算方法：参数化法
将曲线积分转化为定积分的核心步骤是 “统一变量”。
已知条件：
曲线 $L$ 的参数方程：$x=x(t), y=y(t), z=z(t)$
参数范围：$t: \alpha \to \beta$（注意：$\alpha$对应起点$A$，$\beta$对应终点$B$）
计算步骤：
计算微分项：$dx = x’(t)dt, \quad dy = y’(t)dt, \quad dz = z’(t)dt$
代入积分式：
$$ \int_{L} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{\alpha}^{\beta} \left[ P(x(t), y(t), z(t))x'(t) + Q(\dots)y'(t) + R(\dots)z'(t) \right] dt $$
计算第二型积分时，不需要像第一型那样在根号下平方求和，也不强制要求积分下限小于上限，积分限必须严格遵循路径的起点到终点。
最后我们指出第一型曲线积分与第二型曲线积分之间的联系。虽然两类曲线积分的定义不同，但在一定条件下可以互相转化。
当曲线 $L$ 用参数方程
$$ \begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), \quad \alpha \le t \le \beta \\ z = z(t), \end{cases} $$
表出时，$(x’(t), y’(t), z’(t))$ 是曲线的切向量，因而
$$ d\mathbf{r} = (dx, dy, dz) = (x'(t), y'(t), z'(t)) dt $$
也是切向量，且其方向与积分路径的方向一致。又 $d\mathbf{r}$ 的模正好是弧微分，即
$$ |d\mathbf{r}| = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2} = ds $$
设 $d\mathbf{r}$的方向余弦为$\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$，则有
$$ (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \frac{d\mathbf{r}}{|d\mathbf{r}|} = \left( \frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds}, \frac{dz}{ds} \right) $$
由此得
$$ dx = \cos\alpha ds, \quad dy = \cos\beta ds, \quad dz = \cos\gamma ds $$
因而
$$ \int_{\widehat{AB}} P dx + Q dy + R dz = \int_{\widehat{AB}} (P \cos\alpha + Q \cos\beta + R \cos\gamma) ds $$
其中 $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$为曲线$\widehat{AB}$ 上各点的切线（且其方向与积分方向一致）的方向余弦。
上式刻画了两类曲线积分的关系。需要注意的是，式中 $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 与曲线的方向有关。当曲线的方向改变时，$\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 都要改变符号。
对于平面曲线，上述公式变成下列形式：
$$ \int_{\widehat{AB}} P dx + Q dy = \int_{\widehat{AB}} (P \cos\alpha + Q \cos\beta) ds $$
其中 $\cos\alpha, \cos\beta$是曲线$\widehat{AB}$上各点处与$\widehat{AB}$ 同方向的切线的方向余弦。
从曲线漫步到曲面攀升，我们实际上是将“一元参数化”升级为了“二元映射”。核心矛盾：如何将弯曲的、在三维空间中延展的面积，准确地投影（或拉回）到平坦的二维参数平面上？
我们可以把这个过程拆解为两个阶段：从最直观的“投影法”，到更具一般性的“参数映射法”。
第一型曲面积分
对于一个显式定义的曲面 $S: z = f(x, y)$，其积分区域在 $xy$平面上的投影为$D$。
$$ \iint_S F(x, y, z) \, dS $$
即为第一型曲面积分，$dS$ 是面积微元，并不带有方向。
1. 面积微元的几何补偿
想象曲面上的一块极其微小的面积 $dS$。如果你直接用它在底面上的投影 $d\sigma = dx dy$ 来代替它，你显然低估了它的实际大小，因为曲面是有“斜度”的。
推导的核心在于：
$$ dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, d\sigma $$
这里的根号项本质上是割线（Secant） 的概念（这坨实际上就是一个叉乘）。如果 $\gamma$是曲面法向量与$z$ 轴正方向的夹角，那么：
$$ dS = \frac{d\sigma}{|\cos \gamma|} $$
这是一种“投影补偿”。你站在高处俯瞰（投影到 $D$），必须乘以一个放大系数，才能还原出斜坡的真实面积。具体的公式如下：
2. 计算公式
$$ \iint_S F(x, y, z) \, dS = \iint_D F(x, y, f(x, y)) \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dx dy $$
为什么是根号下那一坨呢，实际上还是从叉乘得到，一如重积分。
二、 参数化曲面：微观线性化
当曲面不再是简单的 $z=f(x, y)$，而是更广义的参数方程 $\vec{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ 时，投影法就失效了。这时需要用到叉积推导。
1. 局部切平面的“拉伸”
在 $(u, v)$平面上一个小矩形$du \cdot dv$，映射到空间中会变成一个近似的平行四边形。
其两条边向量分别为切向量：$\vec{r}_u du$和$\vec{r}_v dv$。
这一小块面积 $dS$ 恰好等于这两个向量叉积的模：
$$ dS = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| \, du dv $$
2. 雅可比行列式的几何化
定义 $A, B, C$ ：
$$ A = \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \quad B = \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \quad C = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} $$
最终的面积微元系数即为 $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$。这与曲线积分中的 $\sqrt{x’^2 + y’^2}$ 在结构上具有高度的自洽性。这看起来有点难算，可以换一个办法算，也许会好算一点。
为了避开复杂的叉积行列式计算，我们引入了三个标量函数。设参数曲面为 $\vec{r}(u, v)$，其偏导向量（切向量）为 $\vec{r}_u$和$\vec{r}_v$：
$E = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_u = x_u^2 + y_u^2 + z_u^2$：衡量 $u$ 方向的长度拉伸。
$F = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_v = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$：衡量 $u, v$ 参数线之间的夹角（正交性）。
$G = \vec{r}_v \cdot \vec{r}_v = x_v^2 + y_v^2 + z_v^2$：衡量 $v$ 方向的长度拉伸。
然后利用：
$$ |\vec{r}_u \times \vec{r}_v|^2 = |\vec{r}_u|^2 |\vec{r}_v|^2 (1 - \cos^2 \theta) = |\vec{r}_u|^2 |\vec{r}_v|^2 - (\vec{r}_u \cdot \vec{r}_v)^2 $$
这也就说明：
$$ A^2 + B^2 + C^2 = EG - F^2 $$
那我们就不需要去算行列式叉乘，只要算算点积和平方和，一般来说会好算一点。
$$ S = \iint_{D'} \sqrt{EG - F^2} \, du dv $$
示例
求球面的表面积。
1. 建模：从空间到投影面
首先选取上半球面作为研究对象。
曲面方程：$z = f(x, y) = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$。
投影区域 $D$：球面在 $xy$平面上的投影是一个圆盘$x^2 + y^2 \leq R^2$。
2. 计算面积微元的“修正系数”
这是最关键的一步。为了求得 $dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} , dA$，我们需要计算偏导数：
- $f_x = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}$-$f_y = \frac{-y}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}$
代入根号项进行化简：
$$ 1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2 - y^2} + \frac{y^2}{R^2 - x^2 - y^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2 - y^2} $$
因此，面积微元为：
$$ dS = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} \, dx dy $$
3. 积分转化：极坐标的优雅
直接在直角坐标系下积分会非常痛苦，于是引入极坐标变换（$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$）：
雅可比行列式补偿：$dx dy \to r , dr d\theta$。
被积函数简化：分母变为 $\sqrt{R^2 - r^2}$。
上半球面积 $S_{\text{up}}$ 的计算过程如下：
$$ S_{\text{up}} = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R \frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}} r \, dr $$
利用凑微分法 $\int \frac{r}{\sqrt{R^2 - r^2}} dr = -\sqrt{R^2 - r^2}$：
内层积分结果：$[-R\sqrt{R^2 - r^2}] \Big|_0^R = 0 - (-R^2) = R^2$。
外层积分结果：$2\pi \cdot R^2$。
最后，由于这只是上半球，全球面面积 $S_{\text{total}} = 2 \cdot 2\pi R^2 = \mathbf{4\pi R^2}$。
三、 第二型曲面积分：通量的定向
法向量 $\vec{n}$ 为第二型积分埋下了伏笔。
物理本质：流体穿过曲面的通量。
核心差异：第二型积分是有方向的（侧的概念）。
联系公式：
$$ \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_S (\vec{F} \cdot \vec{n}) \, dS $$
这说明第二型积分本质上是向量场在曲面法向上的投影权重。
法向量如何计算呢，我们考虑两条切线的叉积即可。
$$ \vec{n}=\frac{\vec{r_u}\times \vec{r_v}}{|\vec{r_u}\times \vec{r_v}|} $$
如果显示写出 $z=f(x,y)$比较容易且好算，取$u=x,v=y$ ，那么：
$$ \vec{r_u}=(1,0,f_x),\vec{r_v}=(0,1,f_y) $$
就不难得到法向量：
$$ \vec{n}=\frac{(-f_x,-f_y,1)}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}} $$
这样会好看不少。当然，我们还是直接考虑一般的情形，代入 $\vec{n}$ 看看：
$$ \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_S (\vec{F} \cdot \vec{n}) \, dS=\iint_S\vec{F}\cdot (\vec{r_u}\times\vec{r_v})d\sigma $$
注意到 $dS$和$d\sigma$的比例系数恰好是$\vec{n}$的分母，也即叉积的模，从而刚好约掉，我们只需要在平整的$u,v$ 平面做一个二重积分就好了。不过仍然需要算个叉积，有点麻烦。
我们可以把形式做的 $fancy$一点，假设$\vec{F} = (P, Q, R)$，参数方程为 $\vec{r}(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$，那么混合积可以直接写成：
$$ \iint_{D} \begin{vmatrix} P & Q & R \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix} du dv $$
或者写成分量形式：
$$ \iint_{D} \left( P \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)} + Q \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)} + R \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right) du dv $$
为什么教材常常看到 $P , dydz + Q , dzdx + R , dxdy$呢，为什么写$dydz$而并非$dzdy$呢，实际上这应该是外微分，具体我们会在后面讨论。可以如此简单地考虑，按照$y-z$的顺序叉积刚好是$x$ 正方向，其余坐标同理。
那么具体计算就没什么好说的，完全就是走流程，算叉积，点乘，积分。不过需要注意方向以及对称性化简。
我们可以不动脑子，换球坐标，直接算叉乘然后点乘积分。
也可以考虑对称性，发现法向在上半区和 $dxdy$的方向(即$z$轴)相反，下半区法向则与$z$ 轴点积是正的，于是利用对称性，$z$会变一个号，其他都不变，所以变成两倍的在上半区的积分。然后把$z$写成$f(x,y)$，因为这里只有$dxdy$，所以刚好点乘对应乘$1$ ，然后积分即可。