问题
考虑向量场 $\vec{F} = \left( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \right)$：
数学陷阱：计算可知 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$，看起来场是“无旋”的。
直觉误区：如果直接套用格林公式，结论似乎应该是环流量为 $0$。
事实：但在原点 $(0,0)$处，函数分母为$0$，场不存在。如果闭合曲线包围了原点，实际积分为 $2\pi$而非$0$。当然，如果不包含原点，积分便恒为 $0$ 。
处理策略：“挖洞”法 (Excising the Singularity)
当区域 $D$内包含奇点时，格林公式的前提（函数在区域内$C^1$ 连续）不再满足。此时需要手动构造一个多连通区域：
构造内边界：以奇点为圆心，取一个极小的半径 $\epsilon$，构造一个闭合圆周 $\Gamma_{\epsilon}$ 将奇点“挖掉”。
应用公式：在剩下的区域 $D \setminus D_{\epsilon}$ 内，场是处处连续的，可以应用格林公式：
$$ \iint_{D \setminus D_{\epsilon}} (Q_x - P_y) \, dA = \oint_{L^+} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \oint_{\Gamma_{\epsilon}^-} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0 $$
- 结果转化：这说明外部大环的积分等于内部小圆周的积分（换了一下 $\Gamma$ 的环流方向）：
$$ \oint_{L^+} Pdx+Qdy = \oint_{\Gamma_{\epsilon}^+} Pdx+Qdy $$
计算：参数化极限
对于上述圆形小边界 $\Gamma_{\epsilon}$，利用极坐标极易计算：
令 $x = \epsilon \cos\theta, y = \epsilon \sin\theta$。
代入积分式：$\int_0^{2\pi} \frac{-\epsilon \sin\theta (-\epsilon \sin\theta) + \epsilon \cos\theta (\epsilon \cos\theta)}{\epsilon^2} d\theta = \int_0^{2\pi} 1 , d\theta = 2\pi$。
结论：只要曲线包围了该奇点，无论曲线形状如何，积分值永远是 $2\pi$。
那如果曲线只包含了半个奇点呢？如果只包含了四分之一个奇点呢？
直觉上，把积分上限变一下就好了（
半覆盖或特定角度（$\alpha$）—— 分段积分或不完全环绕。
$\pi$的情况：如果路径仅在半个平面内围绕奇点旋转（例如从极角$0$到$\pi$），线积分的结果往往对应于张角的弧度值。
$\alpha$的情况：在更一般的情况下，如果边界曲线在奇点处张开的角度为$\alpha$，积分结果将直接正比于这个局部几何角。
虽然说不清楚严谨过程，但这是对的（
Maxwell 方程其一
格林公式会碰到奇点，高斯公式呢？