解的唯一性和存在性
一阶常微分方程的初值问题
$$ \frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 $$
已知条件：
- 函数 $f(x, y)$在某个包含点$(x_0, y_0)$ 的闭矩形区域
$$ R = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x - x_0| \leq a, |y - y_0| \leq b \} $$
上连续。因此，根据闭区间上连续函数的性质，$f$在$R$上有界，即存在常数$M > 0$，使得对所有 $(x, y) \in R$，有 $|f(x, y)| \leq M$。
- 函数 $f(x, y)$在$R$上关于变量$y$满足 Lipschitz 条件：存在常数$L > 0$，使得对于任意 $(x, y_1) \in R$和$(x, y_2) \in R$，都有
$$ |f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L |y_1 - y_2| $$
在上述条件下，存在唯一的函数 $y = \phi(x)$，定义在某个包含 $x_0$的区间$I$ 上，满足该微分方程及初始条件。
证明
朴素地，我们考虑两边积分，得到：
$$ y=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y)dt $$
这就转化为一个所谓积分方程，如何进一步求解呢？利用 Neumann 方法的思想，想到通过迭代或许可以逼近解。先随便猜一个解，例如常值函数 $\phi_0(x)\equiv y_0$ ，这是唯一确定的值，尽管不满足微分方程，我们可以用方程修正结果，我们考虑这样的迭代：
$$ \phi_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \phi_n(t)) \, dt, \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
这样，如果序列 $\phi_n$ 收敛，那么这个极限也就满足积分方程，从而满足微分方程，这样就可做了。
确保良定义
那么首先，我们知道的约束是 $|x-x_0|\le a$，以及$|\phi_n(x)-y_0|\le b$，那么通过归纳法寻找$h$。假设对$n$ 及之前都满足约束，下一步：
$$ |\phi_{n+1}(x)-y_0|=| \int_{x_0}^x f(t,\phi_n(x))dt | \le \int_{x_0}^x|f(t,\phi_n(x))|dt\le M|x-x_0| $$
那么，为了让 $\phi_{n+1}(x)-y_0\le b$，只要$M|x-x_0|\le b$即可，那么只要选择$Mh\le b$，也就是$h\le b/M$。同时$h$也要满足$h\le a$，那么综合就得到$h=min(a,\frac{b}{M})$。从而在$[x_0-h,x_0+h]$ 上定义都是良的，且图像保持在矩形区域内。
估计相邻迭代
从 $n=1$ 开始：
$$ |\phi_1(x) - \phi_0(x)| = \left| \int_{x_0}^{x} f(t, y_0) \, dt \right| \leq M |x - x_0| $$
对于一般的 $n \geq 1$，利用迭代定义和 Lipschitz 条件，
$$ \begin{aligned} |\phi_{n+1}(x) - \phi_n(x)| &= \left| \int_{x_0}^{x} [f(t, \phi_n(t)) - f(t, \phi_{n-1}(t))] \, dt \right| \\ &\leq \int_{x_0}^{x} |f(t, \phi_n(t)) - f(t, \phi_{n-1}(t))| \, dt \end{aligned} $$
利用 Lipschitz 条件：
$$ \leq L \left| \int_{x_0}^{x} |\phi_n(t) - \phi_{n-1}(t)| \, dt \right| $$
推导：
让我们尝试计算前几项来寻找规律。
- 已知：$|\phi_1(x) - \phi_0(x)| \leq M |x - x_0|$- 计算$|\phi_2(x) - \phi_1(x)|$：
$$ |\phi_2(x) - \phi_1(x)| \leq L \left| \int_{x_0}^{x} M |t - x_0| \, dt \right| = M L \frac{|x - x_0|^2}{2} $$
- 计算 $|\phi_3(x) - \phi_2(x)|$：
$$ |\phi_3(x) - \phi_2(x)| \leq L \left| \int_{x_0}^{x} M L \frac{|t - x_0|^2}{2} \, dt \right| = M L^2 \frac{|x - x_0|^3}{3!} $$
对于所有 $n \geq 1$和$x \in I$，有以下估计成立：
$$ |\phi_n(x) - \phi_{n-1}(x)| \leq \frac{M L^{n-1}}{n!} |x - x_0|^n \leq \frac{M L^{n-1}}{n!} h^n $$
证明存在性
考虑级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \max_{x \in I} |\phi_n(x) - \phi_{n-1}(x)| $$
根据估计，这个级数的每一项都被 $\frac{M L^{n-1}}{n!} h^n$ 所控制。
考虑数值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{M L^{n-1}}{n!} h^n$。我们可以用比值判别法来检验其收敛性：
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{M L^n}{(n+1)!} h^{n+1}}{\frac{M L^{n-1}}{n!} h^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{L h}{n+1} = 0 $$
由于极限为 0（小于 1），该数值级数收敛。
根据 Weierstrass M-判别法，由于函数项级数的每一项在区间 $I$上的绝对值都被一个收敛的正项级数的对应项所控制，因此该函数项级数在$I$ 上一致收敛。
结论：
这意味着 Picard 迭代序列 ${\phi_n(x)}$在区间$I$上一致收敛于一个极限函数，记作$\phi(x)$。由于每个 $\phi_n$都是连续的，且收敛是一致的，极限函数$\phi(x)$ 也是连续的。
回忆迭代公式：
$$ \phi_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \phi_n(t)) \, dt $$
对等式两边取极限 $n \to \infty$。
左边直接趋于 $\phi(x)$。
对于右边，将极限号移入积分号内，即：
$$ \lim_{n \to \infty} \int_{x_0}^{x} f(t, \phi_n(t)) \, dt = \int_{x_0}^{x} \lim_{n \to \infty} f(t, \phi_n(t)) \, dt = \int_{x_0}^{x} f(t, \phi(t)) \, dt $$
这说明 $\phi(x)$ 满足积分方程，从而是初值问题的一个解。存在性得证。
证明唯一性
推导：
假设存在另一个函数 $\psi(x)$ 也满足积分方程：
$$ \psi(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \psi(t)) \, dt $$
考虑两个解之差的绝对值 $u(x) = |\phi(x) - \psi(x)|$。将两者满足的积分方程相减并取绝对值：
$$ u(x) = \left| \int_{x_0}^{x} [f(t, \phi(t)) - f(t, \psi(t))] \, dt \right| \leq \left| \int_{x_0}^{x} |f(t, \phi(t)) - f(t, \psi(t))| \, dt \right| $$
再次应用 Lipschitz 条件：
$$ u(x) \leq L \left| \int_{x_0}^{x} |\phi(t) - \psi(t)| \, dt \right| = L \left| \int_{x_0}^{x} u(t) \, dt \right| $$
现在我需要从这个积分不等式推导出 $u(x) \equiv 0$。不失一般性，考虑 $x \geq x_0$的情况。定义$U(x) = \int_{x_0}^{x} u(t) , dt$。那么 $U’(x) = u(x)$。上述不等式变为：
$$ U'(x) \leq L \cdot U(x) $$
移项得 $U’(x) - L U(x) \leq 0$。两边乘以积分因子 $e^{-Lx}$：
$$ \frac{d}{dx} \left( e^{-Lx} U(x) \right) \leq 0 $$
这说明函数 $e^{-Lx} U(x)$在$x \geq x_0$上是单调不增的。在$x = x_0$ 处，$U(x_0) = \int_{x_0}^{x_0} u(t) , dt = 0$。因此，对于所有 $x \geq x_0$，有 $e^{-Lx} U(x) \leq 0$。但由于 $e^{-Lx} > 0$且$U(x) = \int_{x_0}^{x} u(t) , dt \geq 0$，我们得出 $U(x) \leq 0$且$U(x) \geq 0$，故 $U(x) = 0$。
由于 $U(x) = 0$，其导数 $u(x) = U’(x)$也必然为 0（此处$u$是连续的）。所以$u(x) \equiv 0$，即 $\phi(x) = \psi(x)$对所有$x \geq x_0$成立。对于$x \leq x_0$ 的情况，论证类似。
结论：唯一性得证。
如果从高阶的视角来看，我们可以采用所谓 $Banach$ 不动点定理，简单理解就是一个压缩映射在所谓完备度量空间存在唯一不动点。压缩映射指的是映射值的差小于原来的差，也就是映射后两个点距离变小了。完备度量空间是什么且不管。这样的话，也可以清楚地梳理整个证明。
先转化为积分方程，选取合适的区间长度(足够小)，让积分方程对应的映射是一个压缩映射(就如上面选一个 $h$ )，然后就可以应用不动点定理。
n 阶线性常微分方程的解结构
这部分确立了线性方程解的基本框架。
n 阶线性齐次 ODE：指出若存在 $n$个线性无关的特解$\psi_1, \dots, \psi_n$，则通解可表示为它们的线性组合 $y = C_1\psi_1 + \dots + C_n\psi_n$。此类方程无奇解。
n 阶非齐次线性 ODE：其通解结构为 $y = \psi^* + C_1\psi_1 + \dots + C_n\psi_n$，其中 $\psi^*$ 是非齐次方程的一个特解。
核心工具预告： Wronski 行列式 (Wronskian)，用于判定函数组的线性相关性。
二阶线性 ODE 与存在唯一性定理
将讨论具体化到二阶情形。
标准形式：
非齐次：$y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)$
齐次：$y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0$
解的存在唯一性定理：
若系数 $p(x), q(x)$及$f(x)$在区间$[a, b]$ 上连续，则对于初值问题（$x_0 \in [a, b]$），方程在区间上存在且仅有一个唯一的解。
Wronski 行列式的定义与判定
开始推导判定解是否线性无关的数学判据。
- 定义：对于两个解 $\psi_1, \psi_2$，定义其 Wronski 行列式为：
$$ W(x) = \begin{vmatrix} \psi_1 & \psi_2 \\ \psi_1' & \psi_2' \end{vmatrix} $$
- 定理核心：$\psi_1, \psi_2$在$(a, b)$上线性无关的充要条件是$W(x) \neq 0$（对于区间内任意 $x$）。
线性相关性的逻辑证明
板书展示了必要性与充分性的证明思路。
反证法/直接推导：
若 $\psi_1, \psi_2$线性相关，则存在不全为零的常数$k_1, k_2$使得$k_1\psi_1 + k_2\psi_2 \equiv 0$。
求导得到方程组，由线性代数基础可知，其系数行列式 $W(x)$ 必然恒等于 0。
引申：探讨了 $W(x) \equiv 0$ 与解的线性相关性之间的必然联系。
结论的收束与验证
利用初值问题的唯一性完成最后的逻辑闭环。
唯一性应用：
构造一个函数 $Y(x) = C_1\psi_1(x) + C_2\psi_2(x)$。
若 $W(x_0) = 0$，则可以找到一组不全为零的 $C_1, C_2$使得在某点$x_0$ 处的初值为 0。
根据唯一性定理，如果初值为 0 且满足齐次方程，该解在整个区间内必然恒等于 0（$Y(x) \equiv 0$）。
最终判定：由此证明了在 ODE 框架下，只要在一点处 $W(x_0) = 0$，则解组必然线性相关；反之若线性无关，则 $W(x)$ 在区间内处处不为 0。
上面的推导中，我们发现只是假定一个点 $W(x)$为$0$就会得到处处为$0$ ，这实际上对线性微分方程都成立。
Wronskian行列式
1. 核心背景
设有一个二阶齐次线性微分方程：
$$ y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 $$
假设 $\varphi_1, \varphi_2$ 是该方程的两个解。
2. 推导逻辑拆解
朗斯基行列式的定义
首先定义 $W(x)$ 为这两个解的行列式：
$$ W(x) = \begin{vmatrix} \varphi_1 & \varphi_2 \\ \varphi_1' & \varphi_2' \end{vmatrix} = \varphi_1 \varphi_2' - \varphi_2 \varphi_1' $$
对 $W(x)$ 求导
利用导数的乘法法则（或行列式求导法则）：
$$ W'(x) = (\varphi_1 \varphi_2'' + \varphi_1' \varphi_2') - (\varphi_2 \varphi_1'' + \varphi_2' \varphi_1') = \varphi_1 \varphi_2'' - \varphi_2 \varphi_1'' $$
利用原方程进行代换
因为 $\varphi_1, \varphi_2$满足原方程，可以提取出二阶导数项：$\varphi_i’’ = -P(x)\varphi_i’ - Q(x)\varphi_i$代入后，包含$Q(x)$ 的项会互相抵消，剩下：
$$ W'(x) = \varphi_1 (-P \varphi_2' - Q \varphi_2) - \varphi_2 (-P \varphi_1' - Q \varphi_1) = -P(x) (\varphi_1 \varphi_2' - \varphi_2 \varphi_1') $$
即：
$$ W'(x) = -P(x)W(x) $$
求解一阶线性方程
这是一个典型的一阶可分离变量微分方程，整理得 $W’(x) + P(x)W(x) = 0$。
通过积分因子法或分离变量法得到通解：
$$ W(x) = C e^{-\int P(x) dx} $$
若给定初始点 $x_0$，则表达式为：
$$ W(x) = W(x_0) e^{-\int_{x_0}^x P(t) dt} $$
3. 关键结论与直觉
“$W$ 不变号”是这个理论在定性分析上的核心价值。
定号性： 由于指数函数 $e^{f(x)}$永远大于零，因此$W(x)$的正负完全取决于初始值$W(x_0)$。
线性无关性的保持： 只要在某一点 $x_0$处两个解线性无关（即$W(x_0) \neq 0$），那么在 $P(x)$ 连续的区间内，它们在任何点都线性无关。反之，如果一点为零，则处处为零。
通解结构定理
核心结论： 若 $\varphi_1, \varphi_2$线性无关，则它们的线性组合$y = C_1\varphi_1 + C_2\varphi_2$ 包含所有解。
这意味着这组解构成了解空间的一组基，方程的通解空间是一个二维向量空间。
逻辑推导
为什么上述线性组合能覆盖所有解：
构造初值问题： 假设方程 $(\star)$有一个任意解$u(x)$。在某点 $x_0$，它满足初值 $y(x_0) = u(x_0)$和$y’(x_0) = u’(x_0)$。
确定系数： 考虑线性代数方程组：
$$ \begin{cases} C_1\varphi_1(x_0) + C_2\varphi_2(x_0) = u(x_0) \\ C_1\varphi_1'(x_0) + C_2\varphi_2'(x_0) = u'(x_0) \end{cases} $$
因为 $\varphi_1, \varphi_2$线性无关，所以该方程组的行列式（即$W(x_0)$）不为零。根据克莱姆法则，必然存在唯一的一组解 $(C_1^, C_2^)$。
唯一性收网： * 令 $y(x) = C_1^\varphi_1(x) + C_2^\varphi_2(x)$，它显然也是原方程的解。
- 由于 $y(x)$和$u(x)$在$x_0$ 点的初值完全相同，根据微分方程解的唯一性定理，必然有 $u(x) \equiv y(x)$。