线性常系数微分方程
1. 算子多项式的映射
当我们面对一个 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程：
$$ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0 $$
其实是在讨论微分算子 $D = \frac{d}{dx}$的一个多项式$P(D) = \sum_{i=0}^n a_i D^i$。
所谓的特征方程 $P(\lambda) = 0$，本质上是将算子 $D$ 视为一个变量，把微分方程抽象为了算子空间的代数方程：$P(D)y = 0$。
2. 根子空间与核空间（Kernel）的分解
根据代数基本定理，多项式 $P(\lambda)$ 可以在复数域内唯一分解为线性因子的乘积：
$$ P(\lambda) = \prod_{j=1}^k (\lambda - \lambda_j)^{m_j} $$
对应到微分算子，就有 $P(D) = \prod_{j=1}^k (D - \lambda_j)^{m_j}$。
由于这些算子因子 $(D - \lambda_j)^{m_j}$之间是两两可交换的，根据核空间分解定理（或称循环子空间分解），微分方程的解空间$V = \ker(P(D))$ 可以分解为若干个互不相干的子空间的直和：
$$ V = \ker((D - \lambda_1)^{m_1}) \oplus \ker((D - \lambda_2)^{m_2}) \oplus \dots \oplus \ker((D - \lambda_k)^{m_k}) $$
这里的每一个子空间 $\ker((D - \lambda_j)^{m_j})$，正是根子空间在函数空间中的体现。
3. 基向量的生成机制
在每个根子空间 $\ker((D - \lambda_j)^{m_j})$中，我们要寻找的是能够被$(D - \lambda_j)^{m_j}$ 湮灭（Annihilated）的所有函数。
当 $m_j = 1$（单根）时，子空间由特征向量 $e^{\lambda_j x}$ 张成。
当 $m_j > 1$（重根）时，单纯的特征向量不足以填满维度，于是产生了广义特征向量。
通过平移公式 $D - \lambda = e^{\lambda x} D e^{-\lambda x}$可以证明，这个子空间的基底正好是${e^{\lambda_j x}, x e^{\lambda_j x}, \dots, x^{m_j-1} e^{\lambda_j x}}$。这与线性代数中 Jordan 标准型处理重特征值的逻辑完全一致。
所以实际上，常系数线性微分方程要做的也就只有做多项式分解，多项式分解能搞定，微分方程也就解决了。
例
例如 $f’’’-3f’+2f=0$，也就是考虑$D^3-3D+2$的分解，分解成$(D-1)^2(D-2)$，于是就有$f\in Ker(D-1)^2 \oplus Ker(D+2)$，那么$Ker(D-1)^2$是$c_1e^x+c_2xe^x$ ，$Ker(D+2)$是$c_3e^{-2x}$，和也就是$c_1e^x+c_2xe^x+c_3e^{-2x}$ ，也就是通解了。
特解
这个一方面是猜，如果要一般地做，也可以如下考虑：
“套娃”式地定义中间变量：
令 $z_{n-1} = (D - \lambda_2)\dots(D - \lambda_n)y$
则第一步求解：$(D - \lambda_1)z_{n-1} = f(x)$- 得到$z_{n-1}$后，再解$(D - \lambda_2)z_{n-2} = z_{n-1}$- 依此类推，直到解出$y$。
不过积分的话，就未必算的出了（
猜解
实际上也就是直觉经验。
1. $f(x)$为$n$次多项式$P_n(x)$当$f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ 时：
若 $0$不是特征根（即$q \neq 0$）：设特解 $\varphi^* = Q_n(x)$（同阶多项式）。
若 $0$是单特征根（即$q = 0, p \neq 0$）：设特解 $\varphi^* = x Q_n(x)$。
若 $0$是二重特征根（即$q = p = 0$）：设特解 $\varphi^* = x^2 Q_n(x)$。
2. $f(x)$为指数函数$e^{\alpha x}$当$f(x) = A e^{\alpha x}$ 时：
若 $\alpha$不是特征根：设$\varphi^* = B e^{\alpha x}$。
若 $\alpha$是单特征根：设$\varphi^* = B x e^{\alpha x}$。
若 $\alpha$是二重特征根：设$\varphi^* = B x^2 e^{\alpha x}$。
3. $f(x)$ 为正余弦函数组合
当 $f(x) = D_1 \cos(\beta x) + D_2 \sin(\beta x)$ 时：
若 $\pm i\beta$不是特征根：设$\varphi^* = A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)$。
若 $\pm i\beta$是特征根：设$\varphi^* = x [A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)]$。
4. 复合形式
当 $f(x) = e^{\alpha x} [P_n(x) \cos(\beta x) + Q_m(x) \sin(\beta x)]$ 时：
这是最复杂的情况。设 $k = \max(n, m)$，若 $\alpha \pm i\beta$是特征方程的$s$ 重根（对于二阶方程，$s$取$0$或$1$），则：
$$ \varphi^* = x^s e^{\alpha x} [R_k(x) \cos(\beta x) + S_k(x) \sin(\beta x)] $$
另一种理解
我们之前从线性代数的角度思考了线性常系数微分方程的解，实际上可以考虑所谓的特征方程，而不考虑线性代数，虽然实际上几乎是一个东西，但是可以换种角度理解。
考虑二阶线性递推方程：
$$ a_{n+2}+c_1a_{n+1}+c_2a_n=0 $$
我们不会解，但是我们会解等比的递推，于是想到构造 $b_n=a_{n+1}+ka_n$ ，我们希望的是：
$$ b_{n+1}=qb_n $$
或者也就是
$$ a_{n+2}+xa_{n+1}=y(a_{n+1}+a_n) $$
这样，我们与原来的方程比较就能解出 $x,y$，从而解出$b_n$的通项，然后反求$a_n$ 。
对微分方程我们是不是也可以类似地转换呢：
$$ y''+c_1y'+c_2y=0 $$
二阶不会，一阶还是会的，于是构造 $h=y’-ky$ ，我们希望得到：
$$ h'-qh=0 $$
也就是
$$ (y'-ky)'-q(y'-ky)=0 $$
同样，与原式对比就可以解出 $k,q$，从而得到$y’+ky$ 的形式，然后再解一个一阶方程就好了。
我们具体算算，利用
$$ k+q=-c_1, qk=c_2 $$
可知 $q,k$也就是对应方程$x^2+c_1x+c_2$即所谓特征方程的两根$\lambda_1,\lambda_2$ 。
先考虑两根不同。
对这样的方程，当然想到直接分离变量积分：
$$ \frac{(y'-ky)'}{y'-ky}=q $$
积分并化简得到
$$ y'-ky=Ce^{qx} $$
然后乘上因子 $e^{-kx}$ ：
$$ (e^{-kx}y)'=Ce^{(q-k)x} $$
积分得到
$$ e^{-kx}y=C_1e^{(q-k)x}+C_2' $$
也就有
$$ y=C_1e^{qx}+C_2e^{kx} $$
不难解出特征方程两根，于是 $y$ 的通解：
$$ y=C_1e^{-\lambda_1x}+C_2e^{-\lambda_2x} $$
如果两根相同，那么记为 $\lambda$ 。
$$ (y'-\lambda y)'-\lambda(y'-\lambda y)=0 $$
同样有
$$ y'-\lambda y=Ce^{\lambda x} $$
同样作用 $e^{-\lambda x}$ ：
$$ (e^{-\lambda x}y)'=C $$
于是得到
$$ y=Cxe^{\lambda x} $$
这与我们考虑线性算子时得到的结果一致。
特解
在线性算子中，我们具体考虑特解的一般性计算，将考虑微分算子的逆，笨人并未研究。
这里我们则可以比较形式化地直接得到特解，考虑：
$$ y''+c_1y'+c_2y=f(x) $$
我们故技重施，写成：
$$ (y'-\lambda_1y)'-\lambda_2(y'-\lambda_1y)=f(x) $$
这就降成了一阶微分方程，这样乘上积分因子 $e^{-\lambda_2x}$，记$u=y’-\lambda_1 y$ ：
$$ (e^{-\lambda_2x}u)'=f(x)e^{-\lambda_2x} $$
积分得到：
$$ y'-\lambda_1y=e^{\lambda_2x}(\int f(x)e^{-\lambda_2x}dx+C) $$
再来一次：
$$ (e^{-\lambda_1x}y)'=RHS\cdot e^{-\lambda_1x} $$
如果两根不同，则积分：
$$ y=e^{\lambda_1x}(\int(e^{(\lambda_2-\lambda_1)x}\int f(x)e^{-\lambda_2x}dx+C)dx+C') $$
把常数分离一下就得到：
$$ y = e^{\lambda_1x} \left( \int e^{(\lambda_2-\lambda_1)x} \left( \int f(x)e^{-\lambda_2x} dx \right) dx + C_1 \int e^{(\lambda_2-\lambda_1)x} dx + C_2 \right) $$
也就得到了解的一般形式，但是一般猜解还是舒服一点。
如果两根相同，那么第二项积分就变成 $C_1x$ 了。
第一项积分看起来有点丑陋，而且并不对称，但实际上可以通过运算化简，我们写成定积分：
$$ \int_{a}^{x} \left( \int_{a}^{t} f(s) e^{-\lambda_1 s} ds \right) e^{(\lambda_1 - \lambda_2)t} dt \cdot e^{\lambda_2 x} $$
分部积分：
$$ = \left( \left. \int_{a}^{s} f(s) e^{-\lambda_1 s} ds \cdot \frac{e^{(\lambda_1 - \lambda_2)t}}{\lambda_1 - \lambda_2} \right|_{t=a}^{t=x} - \int_{a}^{x} f(t) e^{-\lambda_1 t} \cdot \frac{e^{(\lambda_1 - \lambda_2)t}}{\lambda_1 - \lambda_2} dt \right) e^{\lambda_2 x} $$
$$ = \left( \int_{a}^{x} f(s) e^{-\lambda_1 s} ds \cdot \frac{e^{(\lambda_1 - \lambda_2)x}}{\lambda_1 - \lambda_2} + \int_{0}^{x} \frac{f(t) e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_2 - \lambda_1} dt \right) e^{\lambda_2 x} $$
最终形式：
$$ = \left( \int_{a}^{x} \frac{f(t) e^{-\lambda_1 t}}{\lambda_1 - \lambda_2} dt \right) e^{\lambda_1 x} + \left( \int_{a}^{x} \frac{f(t) e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_2 - \lambda_1} dt \right) e^{\lambda_2 x} $$
① $\lambda_1 \neq \lambda_2$
$$ y(x) = \left( \int^x \frac{f(t) e^{-\lambda_1 t}}{\lambda_1 - \lambda_2} dt + C_1 \right) e^{\lambda_1 x}
- \left( \int^x \frac{f(t) e^{-\lambda_2 t}}{\lambda_2 - \lambda_1} dt + C_2 \right) e^{\lambda_2 x}
$$
② $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$
$$ y(x) = \left( \int^x f(t) \cdot t e^{-\lambda t} dt + C_1 \right) e^{\lambda x} + \left( \int^x f(t) e^{-\lambda t} dt + C_2 \right) x e^{\lambda x} $$
这是非常正统，非常一般化的解，但是显然不太好算，也记不住。我们观察形式，发现：
$$ 齐次部分对应：c_1\phi_1(x)+c_2\phi_1(x) $$
$$ 非齐次部分对应：D_1(x)\phi_1(x)+D_2(x)\phi_2(x) $$
常数变易法
被判定为邪修，但是很好用（），根据上面我们的观察，我们知道只要整出来齐次的解，只要把系数设成新的函数带进去解出来就可以得到方程的解。实际上就是我们算出来的那一大坨，但是那显然不好记忆（）
这实际上对非常系数的微分方程也成立，就不证了（buhui），非常系数的齐次解也没有通用的解法，但是我们还是假定我们找到了齐次的通解 $\varphi_1,\varphi_2$ ，然后现在讨论常数变易法。
原方程：
$$ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) $$
假装解出来了齐次解，安上两个系数函数：
$$ y=C_1(x)\varphi_1(x)+C_2(x)\varphi_2(x) $$
求导：
$$ y'=C_1'\varphi_1+C_1\varphi_1'+C_2'\varphi_2+C_2\varphi_2' $$
$$ y'(x) = \underline{C_1' \varphi_1 + C_2' \varphi_2} + C_1 \varphi_1' + C_2 \varphi_2' $$
$\qquad$设划线处$= 0$ （一会解释为什么能这么干）
$$ y''(x) = C_1' \varphi_1' + C_2' \varphi_2' + C_1 \varphi_1'' + C_2 \varphi_2'' $$
$$ f(x) = C_1' \varphi_1' + C_2' \varphi_2' + \underline{C_1 \varphi_1'' + C_2 \varphi_2''} $$
$$ \qquad + p(x) (\underline{C_1 \varphi_1' + C_2 \varphi_2'}) $$
$$ \qquad + q(x) (\underline{C_1 \varphi_1 + C_2 \varphi_2}) $$
$$ = C_1' \varphi_1' + C_2' \varphi_2' $$
那么就得到两个方程：
$$ \begin{cases} C_1' \varphi_1 + C_2' \varphi_2 = 0 \\ C_1' \varphi_1' + C_2' \varphi_2' = f \end{cases} $$
$$ \Rightarrow \begin{aligned} C_1' &= -\frac{f \varphi_2}{W} \\ C_2' &= \frac{f \varphi_1}{W} \end{aligned} $$
这里的 $W$ 是系数行列式，也就是朗斯基行列式。
$$ \Rightarrow \begin{aligned} C_1(x) &= \int^x -\frac{f(t) \varphi_2(t)}{W(t)} dt + D_1 \\ C_2(x) &= \int^x \frac{f \varphi_1}{W} dt + D_2 \end{aligned} $$
从而
$$ y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x) $$
$$ \downarrow $$
$$ y
= \left( \int^x -\frac{f \varphi_2}{W} dt + D_1 \right) \varphi_1(x)
- \left( \int^x \frac{f \varphi_1}{W} dt + D_2 \right) \varphi_2(x)
$$
欧拉方程
$$ \sum_i a_ix^iy^{(i)}=0 $$
其中 $a_i$ 为常数，这样形式的微分方程称为所谓欧拉方程。
欧拉方程有一个不错的性质，考虑 $z(x)=y(-x)$，那么偶数项不消说，奇数项由于$z’$和$x$ 都有多一个负号，所以抵消了。也就是说，$z$也满足方程，换言之，只需要考虑$x>0$ 的情形。
那么什么函数值域大于 $0$呢，自然的想法是$e^x$，我们令$x=e^t$，那么$xy’=e^t\frac{dy}{dx}=e^t\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$，注意到$\frac{dt}{dx}=e^{-t}$，那么就有$xy’=\frac{dy}{dt}$，如此美妙。我们考虑第二项，设$D = \frac{d}{dt}$，则$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = D(D-1)y$，利用数学归纳法可以得到$x^k \frac{d^ky}{dx^k} = D(D-1)\dots(D-k+1)y$ 。这么一来，就又变回常系数线性方程了。
例如，我们考虑
$$ x^2y''+\frac{3}{2}xy'-y=0 $$
那么换元后就是
$$ (D(D-1)+\frac{3}{2}D-1)y=0 $$
整理得到
$$ (D^2+\frac{1}{2}D-1)y=0 $$
这个丑陋的方程就不解了，总之是解出两个根 $\lambda_i$ ，然后
$$ y=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t} $$
但是这还不是 $y(x)$，代入$t=lnx
$$ $y(x)=C_1x^{\lambda_1}+C_2x^{\lambda_2} $$
但是这要求 $x>0$，利用之前所说，只要把$x$ 加上绝对值就好
$$ y(x)=C_1|x|^{\lambda_1}+C_2|x|^{\lambda_2} $$
相应的，如果有重根，就得到
$$ y(x)=C_1x^{\lambda}+C_2ln|x|x^{\lambda} $$
伯努利方程
$$ y'+P(x)y=Q(x)y^n $$
如果没有 $y^n$，那就是标准的一阶非齐次方程，于是自然想到除掉$y^n$ ，得到
$$ y^{-n}y'+P(x)y^{1-n}=Q(x) $$
发现 $1-n$和$-n$差$1$，这与求一次导有所关联，于是进行变量代换$z=y^{1-n}$ ，那么
$$ z'+P(x)z=Q(x) $$
就得到了标准的一阶非齐次方程的形式。
一阶 ODE 组
$n$ 个耦合的一阶微分方程如何求解？
$$ y_1'=F_1(x,y_1,y_2,...,y_n) $$
$$ ... $$
$$ y_n'=F_n(x,y_1,y_2,...,y_n) $$
为了方便描述，可以记 $\vec{y}=(y_1,…,y_n)^T$，类似的$\vec{F}=(F_1,…,F_n)^T$ 。
通解形如
$$ y_1(x)=\varphi_1(x,C_1,...C_n) $$
因为要解 $n$个方程，故有$n$ 个常数。
独立性的判断仍然是行列式
$$ |\frac{D(\vec{\varphi})}{D(\vec{C})}| $$
存在唯一性条件则相应有所变化，要求对 $(x,\vec{y})\in \Omega \subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n$，在其上每个$F_i$对每个$y_i$ 满足一致的李普希兹条件。
为什么要研究方程组
我们考虑 $n$阶微分方程，实际上可以通过变量替换变成一个一阶 ode 组，只要令$u_i=y^{(i)}$ ，就得到
$$ u_1'=u_2 $$
$$ ... $$
$$ u_{n-1}'=u_n $$
$$ u_n=F(x,u_0,u_1...)，即原来的微分方程 $$
也就是说，要解 $n$阶方程，只要解这样一个方程组就好。所以$n$阶方程有$n$个常数，实际上是因为对应$n$个一阶方程。把上述的常数独立性条件的$\varphi$改成对应的$y^{(n)}$,就发现和$n$ 阶微分方程的常数独立性条件一样。
对存在唯一性条件，我们看 $\vec{F}$ ：
$$ \vec{F}(x, \vec{y}) = (y_2 \ y_3 \ \cdots \ G(x, y_1, \dots, y_n))^T $$
那么对应的雅可比矩阵也就是
$$ \frac{D(\vec{F})}{D(\vec{y})} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ G_{y_1} & G_{y_2} & G_{y_3} & \cdots & G_{y_n} \end{pmatrix} $$
这个矩阵 $\in C^1$ 是李普希兹连续的一个充分条件(导数有界)，那么也就只要求最下方那一排导数连续。
二阶微分方程存在唯一性条件要求 $p,q$ 连续，实际上也就是对应的导数。
各种形式
1. 一般形式（General Form）
最顶层是高度抽象的非线性向量方程：
$$ \vec{y}' = \vec{F}(x, \vec{y}) $$
- 含义：系统的演化速率 $\vec{y}’$取决于当前自变量$x$和状态向量$\vec{y}$ 的某种复杂非线性组合。
2. 线性化（Linearization）
通过引入“线性”约束，方程退化为变系数线性微分方程组：
$$ \vec{y}' = A(x)\vec{y} + \vec{f}(x) $$
结构：
$A(x)$是系数矩阵，其元素随自变量$x$ 变化。
$\vec{f}(x)$ 是非齐次项（或称强制项）。
逻辑：此时状态 $\vec{y}$ 对演化速率的影响是线性的。
3. 常系数化（Constant Coefficients）
进一步引入“常系数”约束，方程退化为最易求解的形式：
$$ \vec{y}' = A\vec{y} + \vec{f}(x) $$
核心变化：矩阵 $A$不再随$x$ 变化，而是一个常数矩阵。
价值：这是线性代数介入最深的领域，可以通过计算矩阵 $A$ 的特征值和特征向量（如 Jordan 标准型）来直接写出通解。