我们熟悉的几何级数，可以看做一个泰勒展开：
$$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n) $$
这像是函数的级数，那么在什么情况下，这个等式可以写成无穷级数的形式？
$$ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (?) $$
- 观察点：当 $x \to 0$（或者更准确地说，在收敛半径 $|x| < 1$ 内）时，这种转化才具有数学意义。
函数项级数
函数项级数的定义：
- 定义形式：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x), \quad x \in X $$
其中 $u_n(x)$是定义在集合$X$ 上的函数序列。
- 部分和函数 (Partial Sum Function)：
$$ S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k(x) $$
这是级数前 $n$项的和，它本身也是一个关于$x$ 的函数。
和函数 (Sum Function)：
当 $n \to \infty$时，如果部分和函数序列${S_n(x)}$ 趋于一个极限，这个极限被称为和函数，记作：
$$ S_n(x) \longrightarrow S(x) $$
函数序列的极限与收敛
我们考虑函数序列 ${f_n}$ 的所谓极限和收敛，试着对其运用我们在数项级数的想法。
1. 前提条件
共同定义域：设函数序列 ${f_n(x)}$中的每一个函数都定义在同一个集合$X$ 上。
逐点存在性：对于定义域 $X$中的每一个确定的自变量$x$，数列 ${f_n(x)}$（此时已坍缩为常数数列）的极限都存在。
2. 极限函数的定义
- 如果上述极限存在，我们可以定义一个新的函数 $f(x)$，其在点 $x$ 的取值即为该数列的极限：
$$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) $$
- 此时，$f(x)$被称为函数序列${f_n}$ 的极限函数 (Limit Function)。
3. 记号与表述
- 这种关系记为：
$$ f_n \xrightarrow{n \to \infty} f \quad (\text{在 } X \text{ 上}) $$
- 这意味着函数序列 ${f_n}$在集合$X$上逐点收敛于$f$。
逐点收敛
逐点收敛关注的是“局部”的胜利。如果我们把函数序列想象成一群向终点线跑去的运动员，逐点收敛只要求每个运动员最终都能到达自己的终点，但并不要求他们到达的速度是一致的。
一致收敛
设函数序列 ${f_n}$在集合$X$上收敛于极限函数$f$。
若对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在一个只与 $\varepsilon$有关的自然数$N_{\varepsilon}$，使得当 $n \geq N_{\varepsilon}$时，对于一切$x \in X$，都有：
$$ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon $$
则称函数序列 ${f_n}$在$X$上一致收敛于$f$。
记法：
$$ f_n \rightrightarrows f, \quad x \in X $$
（注意：这里使用了双箭头来区别于逐点收敛的单箭头）。
一致收敛 vs. 逐点收敛
两者的本质区别在于 $N$对$x$ 的依赖性：
逐点收敛：对于不同的点 $x$，收敛的速度可以不同。为了达到同样的精度 $\varepsilon$，有些点可能需要 $n=100$，有些点可能需要 $n=10000$。这意味着 $N$是$\varepsilon$和$x$ 的函数：$N(\varepsilon, x)$。
一致收敛：存在一个“全场通用”的 $N$。只要 $n$足够大，整个函数曲线会作为一个整体进入极限函数$f(x)$的$\varepsilon$-邻域内。此时 $N$ 只取决于精度要求：$N(\varepsilon)$。
示例：幂函数序列
1. 设定条件
设函数序列为：
$$ f_n(x) = x^n, \quad x \in [0, 1] $$
2. 逐点收敛过程
当 $n \to \infty$时，我们分情况讨论每个点$x$ 的极限：
当 $0 \leq x < 1$ 时：根据幂函数的性质，$\lim_{n \to \infty} x^n = 0$。
当 $x = 1$时：对于任何$n$，$1^n$始终为$1$，故 $\lim_{n \to \infty} 1^n = 1$。
由此得到极限函数 $f(x)$：
$$ f(x) =
\begin{cases}
0, & x \in [0, 1) \
1, & x = 1
\end{cases}
$$
3. 核心结论
收敛但不一致。
为什么不一致？
观察图像可以看到，随着 $n$增大，曲线虽然在绝大部分区域向下“塌陷”趋近于$0$，但在 $x=1$附近，曲线始终需要从$0$附近陡峭地升至$1$。
这意味着：
连续性破坏：所有的子项 $f_n(x) = x^n$都是完美的连续函数，但它们的极限函数$f(x)$在$x=1$ 处发生了跳跃（不连续）。
速度不均：越靠近 $1$的点，收敛到$0$的速度越慢。你无法找到一个统一的$N$，让整条曲线在 $x=1$附近也进入极限函数的$\varepsilon$-邻域。
例 ：利用均值不等式判定一致收敛
1. 问题设定
设函数序列 $f_n(x) = x^n(1-x)^n$，定义域为 $x \in [0, 1]$。
2. 判定过程
逐点极限：显然，对于 $[0, 1]$内的任意$x$，当 $n \to \infty$ 时，$f_n(x) \to 0$。即极限函数 $f(x) \equiv 0$。
寻找一致上界：我们需要估计 $|f_n(x) - f(x)| = |x(1-x)|^n$ 的最大值。 根据算术-几何平均值不等式（AM-GM Inequality）：
$$ x(1-x) \leq \left( \frac{x + (1-x)}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} $$
因此：
$$ |f_n(x) - 0| \leq \left( \frac{1}{4} \right)^n $$
- 结论：由于上界 $\left( \frac{1}{4} \right)^n$与$x$无关，且当$n \to \infty$时趋于$0$，所以：
$$ f_n \rightrightarrows 0 \quad (\text{在 } [0, 1] \text{ 上一致收敛}) $$
例 ：收敛域缩减保证一致收敛
1. 问题设定
设函数序列 $f_n(x) = x^n$，但此时定义域限制在 $x \in [0, a]$，其中 $0 < a < 1$。
2. 判定过程
逐点极限：由于 $a < 1$，对于该区间内所有 $x$，都有 $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$。
寻找一致上界： 由于 $f_n(x) = x^n$在$[0, a]$上是单调递增的，其最大值必然在右端点$a$ 处取得：
$$ |f_n(x) - 0| \leq a^n $$
- 结论： 因为 $0 < a < 1$，所以当 $n \to \infty$ 时，$a^n \to 0$。 这意味着在缩短后的闭区间 $[0, a]$ 上：
$$ f_n \rightrightarrows 0 \quad (\text{一致收敛}) $$
这两个例子揭示了判定一致收敛的一种标准范式——$M$ 判别法思想：
先求出逐点极限 $f(x)$。
计算偏差的模 $|f_n(x) - f(x)|$。
关键步骤：找到一个不依赖于 $x$的数列$M_n$，使得该偏差永远小于等于 $M_n$。
如果 $\lim_{n \to \infty} M_n = 0$，则一致收敛。
一致收敛的判别定理 (The Criterion Theorem)
判定一致收敛最常用的充分必要条件（通常被称为 $M$ 判别法思想）：
定理内容：
设 $f_n \to f$（逐点收敛）。若存在一个数列 ${a_n}$，满足：
$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$；
对一切 $x \in X$及一切$n \geq 1$，都有 $|f_n(x) - f(x)| \leq a_n$；
结论：则函数序列 ${f_n}$在$X$上一致收敛于$f$ ($f_n \rightrightarrows f$)。
直观理解：如果能找到一个“盖子” $a_n$，它能把所有点的误差都盖住，且这个盖子本身会收缩到 $0$，那么收敛就是一致的。
非一致收敛的判定 (Negation Criterion)
证明一个级数不一致收敛的方法：
判定准则：
若存在一个常数 $k > 0$，以及定义域中的一个特殊点列 ${x_n} \subset X$，使得：
$$ |f_n(x_n) - f(x_n)| \geq k $$
（或者该项的极限为 $k$），则 $f_n$在$X$ 上不一致收敛。
例
1. 问题设定
$$ f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2x^2}, \quad x \in [0, 1] $$
2. 分析过程
逐点极限：
若 $x=0$，$f_n(0)=0$。
若 $x \in (0, 1]$，分母 $n^2$的阶数高于分子$n$，故当 $n \to \infty$ 时，$f_n(x) \to 0$。
结论：极限函数 $f(x) \equiv 0$。
构造点列（否定准则）：
为了证明不一致收敛，我们需要找到一个点 $x_n$，使得函数值在该点不趋于 $0$。
令 $x_n = \frac{1}{n}$ （通过观察容易找到这个序列）：
$$ |f_n(x_n) - f(x_n)| = |f_n(\frac{1}{n}) - 0| = \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{1 + n^2 \cdot (\frac{1}{n})^2} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} $$
- 结论：由于误差始终保持在 $1/2$，无法被任意小的 $\varepsilon$覆盖，故在$[0, 1]$ 上不一致收敛。
例 ：有界闭区间内的一致收敛
1. 问题设定
$$ f_n(x) = \frac{n + x^2}{nx}, \quad x \in (0, M] $$
2. 分析过程
逐点极限：将式子拆分为 $f_n(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{n}$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{x}{n} \to 0$，故 $f_n(x) \to \frac{1}{x}$。
寻找一致上界：
$$ |f_n(x) - \frac{1}{x}| = |\frac{x}{n}| $$
在区间 $(0, M]$上，其最大偏差出现在$x=M$ 处：
$$ |\frac{x}{n}| \leq \frac{M}{n} = a_n $$
- 结论：令 $a_n = \frac{M}{n}$，当 $n \to \infty$时$a_n \to 0$。因此在 $(0, M]$ 上一致收敛。
例 3：无穷区间导致的收敛失败
1. 问题设定
$$ f_n(x) = (1 + \frac{1}{n})^x, \quad x \in [0, +\infty) $$
2. 分析过程
逐点极限：对于固定的 $x$，当 $n \to \infty$时，依据重要极限可知$f_n(x) \to 1^x = 1$。
寻找反例点列：
令 $x_n = n$：
$$ |f_n(n) - 1| = |(1 + \frac{1}{n})^n - 1| \longrightarrow e - 1 $$
结论：由于 $e - 1 \approx 1.718 > 0$，误差在 $x$趋向无穷时无法消失。故在$[0, +\infty)$ 上不一致收敛。
对比：若将区间限制在有界的 $[0, M]$，则会变成一致收敛。
但是如果不知道极限，如何判定一致收敛呢？我们想到数项级数中的柯西判别法。
一致收敛的柯西准则
1. 定理内容
设函数序列 ${f_n}$定义在集合$X$上。${f_n}$在$X$上一致收敛（即存在函数$f$使得$f_n \rightrightarrows f$）的充分必要条件是：
对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在一个仅与 $\varepsilon$有关的自然数$N_{\varepsilon}$，使得对于所有 $n, m \geq N_{\varepsilon}$以及一切$x \in X$，都有：
$$ |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon $$
2. 核心逻辑拆解
内部一致性：柯西准则的本质是要求序列的项在 $n$ 足够大时，彼此之间靠得非常近。
摆脱极限函数的依赖：
在之前的判别法中，我们通常需要先求出 $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$，然后去分析 $|f_n(x) - f(x)|$。
柯西准则只需要比较序列内部的两项 $f_n$和$f_m$。这意味着即使极限函数极其复杂或者难以显式表达，我们依然可以讨论其一致收敛性。
“一致”的体现：
与数列柯西准则不同，这里的 $N_{\varepsilon}$对整个定义域$X$必须是通用的。无论你在$X$中选择哪一个$x$，只要下标超过 $N_{\varepsilon}$，两项之间的距离都必须小于 $\varepsilon$。
一致收敛到底有什么用呢？
核心定理：一致收敛与连续性 (Uniform Convergence and Continuity)
1. 定理内容
设函数序列 ${f_n}$定义在集合$X$ 上：
条件 1：每一项 $f_n(x)$都是$X$上的连续函数（记作$f_n \in C(X)$）；
条件 2：${f_n}$在$X$上一致收敛于极限函数$f$（记作 $f_n \rightrightarrows f$）；
结论：极限函数 $f(x)$也是$X$上的连续函数（即$f \in C(X)$）。
2. 证明思路：$\varepsilon/3$ 技巧
为了证明 $f(x)$在$x_0$处连续，我们需要控制$|f(x) - f(x_0)|$ 的大小。
通过插入项，将其拆解为三部分：
$$ |f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| $$
第一项 $|f(x) - f_n(x)|$：由一致收敛保证。只要 $n$足够大，对所有$x$这一项都小于$\varepsilon/3$。
第二项 $|f_n(x) - f_n(x_0)|$：由 $f_n$的连续性保证。固定$n$后，当$x$靠近$x_0$时，这一项小于$\varepsilon/3$。
第三项 $|f_n(x_0) - f(x_0)|$：同样由一致收敛保证（特定点 $x_0$ 处的收敛）。
回顾那个 $f_n(x) = x^n$在$[0, 1]$ 上的例子：
每一项 $x^n$ 都是连续的。
但极限函数 $f(x)$在$x=1$ 处不连续。
原因：正是因为它在 $[0, 1]$ 上不满足一致收敛。这个反例从反面完美印证了本定理的必要性。
一致收敛保持可积性
1. 定理内容
设函数序列 ${f_n}$定义在有界闭区间$[a, b]$ 上：
条件 1：每一项 $f_n(x)$都是$[a, b]$上的连续函数（即$f_n \in C[a, b]$）；
条件 2：${f_n}$在$[a, b]$上一致收敛于极限函数$f$（记作 $f_n \rightrightarrows f$）；
结论：极限函数与积分号可以交换顺序，即：
$$ \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) dx = \int_a^b f(x) dx $$
直观隐喻：由于一致收敛保证了整个函数曲线是“均匀”地靠近极限函数的，因此曲线下方的面积也会“平滑”地趋近于极限函数下方的面积。
2. 证明过程整理
通过对误差的估计完成证明：
误差表达式：我们需要证明 $\left| \int_a^b f_n(x) dx - \int_a^b f(x) dx \right| \to 0$。
利用积分性质放大：
$$ \left| \int_a^b (f_n(x) - f(x)) dx \right| \leq \int_a^b |f_n(x) - f(x)| dx $$
利用一致收敛代换：
根据一致收敛的定义，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_{\varepsilon}$，当 $n \geq N_{\varepsilon}$时，对所有$x \in [a, b]$都有$|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。
最终估计：
$$ \int_a^b |f_n(x) - f(x)| dx \leq \int_a^b \varepsilon \cdot dx = \varepsilon (b - a) $$
当 $\varepsilon$趋于$0$时，上述误差项显然趋于$0$。
如果不一致收敛，就未必满足：
一个“三角形尖峰”函数序列 $f_n(x)$，其高度为 $n$，底边宽度缩减为 $1/n$。
现象：
逐点极限：对于任何固定的 $x > 0$，最终 $1/n < x$，函数值变为 $0$。故 $f_n \to 0$。
积分结果：三角形面积 $\int_0^1 f_n(x) dx = \frac{1}{2}$（底 $\frac{1}{n}$ $\times$高$n$ $\times$ $\frac{1}{2}$）。
极限冲突：$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) dx = \frac{1}{2}$，但极限函数的积分 $\int_0^1 0 dx = 0$。
结论：由于收敛不一致（尖峰一直在拔高），积分与极限号不可交换。
函数列的求导与一致收敛性
1. 定理陈述 (Theorem)
设 ${f_n}$是定义在区间$X = [a, b]$ 上的函数列，若满足以下条件：
点点收敛：存在 $x_0 \in X$，使得 ${f_n(x_0)}$ 收敛。
连续可导：$f_n \in C^1(X)$，即每个 $f_n$在$X$ 上有一阶连续导数。
导函数一致收敛：存在函数 $g$，使得导函数序列 ${f’_n}$在$X$上一致收敛于$g$，即：
$$ f'_n \rightrightarrows g, \quad x \in X $$
则可以得出以下结论：
函数列 ${f_n}$在$X$上一致收敛于某个函数$f$（即 $f_n \rightrightarrows f$）。
极限函数 $f$在$X$ 上可导，且其导数等于导函数的极限，即：
$$ f' = g \quad \text{或者写成} \quad \left( \lim_{n \to \infty} f_n \right)' = \lim_{n \to \infty} f'_n $$
2. 证明思路推演 (Proof Sketch)
利用微积分基本定理进行估计：
通过基本公式：
$$ f_n(x) = f_n(a) + \int_a^x f'_n(t) \, dt $$
当 $n \to \infty$ 时，对应的项分别趋向于：
$$ f(x) = f(a) + \int_a^x g(t) \, dt $$
为了证明一致收敛，考察差值的绝对值：
$$ |f_n(x) - f_m(x)| \leq |f_n(a) - f_m(a)| + \int_a^x |f'_n(t) - f'_m(t)| \, dt $$
由于 $f_n(a)$收敛且$f’_n$一致收敛，由 Cauchy 收敛准则可知，上式右端可以控制得任意小，从而证明$f_n$的一致收敛性。那么对第二个式子求导，利用变上限积分的导数就得到$f’ = g$ 。
3. 性质延伸：交换性 (Interchangeability)
极限符号交换的核心思想：
极限交换：$\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to x_0} f_n(x) = \lim_{x \to x_0} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$
积分交换：$\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) , dx = \int_a^b \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right) , dx$
求导交换：
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{d}{dx} f_n(x) = \frac{d}{dx} \lim_{n \to \infty} f_n(x) $$
注意 (Caveat)：求导的交换性比积分要求更苛刻。仅仅 $f_n \rightrightarrows f$是不足以推出$f’_n \to f’$ 的，必须要求 导函数序列本身一致收敛 ($f’_n \rightrightarrows g$) 才能保证等式成立。
整理 & 应用到函数项级数
一致收敛的判定
$$ f_n \rightrightarrows f \text{ 在 } X \text{ 上} $$
$$ \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N_\varepsilon (\text{与 } x \text{ 无关}) $$
$$ \text{使 } |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon, \quad \forall n \ge N_\varepsilon, \forall x \in X $$
$$ \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N_\varepsilon $$
$$ \text{使 } |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon, \quad \forall n, m \ge N_\varepsilon, \forall x \in X $$
$$ (\text{一致柯西}) $$
一致收敛的性质
① 连续性 (Continuity)
$$ f_n \rightrightarrows f, \text{ 且 } f_n \in C(X) \implies f \in C(X) $$
② 可积性 (Integrability)
$$ f_n \rightrightarrows f \text{ 在 } [a, b] \text{ 上} \implies \int_a^b f_n(x) dx \to \int_a^b f(x) dx $$
③ 可微性 (Differentiability)
$$ f_n \to f, \text{ 且 } f_n' \rightrightarrows g \implies f' = g, \text{ 且 } f_n \rightrightarrows f $$
应用到函数项级数
称 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$在$X$ 上一致收敛
若
$$ S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k(x) \rightrightarrows S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) $$
$$ \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N_\varepsilon $$
$$ \text{使 } \left| \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x) \right| < \varepsilon, \quad \forall n \ge N_\varepsilon, \forall x \in X $$
$$ \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N_\varepsilon $$
$$ \text{使 } \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x) \right| < \varepsilon, \quad \forall n \ge N_\varepsilon, p \ge 1, \forall x \in X $$
一致收敛的性质
① 连续性 (Continuity)
若 $S_n \rightrightarrows S$（在 $X$上），且每个$u_n \in C(X) \implies S_n \in C(X)
$$ $\implies S \in C(X) $$
这实际上意味着极限符号与求和符号可以交换：
$$ \lim_{x \to x_0} \sum_{k=1}^{\infty} u_k(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \lim_{x \to x_0} u_k(x) $$
② 可积性 (Integrability) — 逐项积分
若 $S_n \rightrightarrows S$在$[a, b]$ 上，（通常称可积）,那么首先利用积分的线性得到：
$$ \int_a^b \sum_{k=1}^nu_k(x)dx=\sum_{k=1}^n\int_a^bu_k(x)dx $$
利用上述的函数序列的一致收敛的可积性
$$ \int_a^b f_n(x) dx \to \int_a^b f(x) dx $$
就得到
$$ \int_a^b \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_a^b u_n(x) dx $$
③ 可微性 (Differentiability) — 逐项求导
若 $S_n \to S$，且 $S_n’ = \sum_{k=1}^{n} u_k’(x) \rightrightarrows G(x)$ ，那么利用函数序列的可微性：
$$ \implies S_n \rightrightarrows S, \text{ 且 } S' = G(x) $$
$$ \implies \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) \text{ 一致收敛，且 } \left( \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) \right)' = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n'(x) $$
直观地说，一致收敛允许我们交换极限、积分、导数。
狄利克雷判别法（一致版）
考察 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n(x)b_n(x)$在$X$ 上：
若：
① 对任意 $x \in X$，${a_n(x)}$关于$n$单调，且$a_n(x) \rightrightarrows 0$在$X$ 上；
② 存在 $M > 0$，使得 $\left| \sum_{k=1}^{n} b_k(x) \right| \le M, \quad \forall n, \forall x \in X$ （即部分和一致有界）；
$$ \implies \sum a_n(x)b_n(x) \text{ 在 } X \text{ 上一致收敛} $$
阿贝尔判别法（一致版）
考察 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n(x)b_n(x)$在$X$ 上：
若：
① 对任意 $x \in X$，${a_n(x)}$关于$n$单调，且存在$L > 0$，使得 $|a_n(x)| \le L, \quad \forall n, \forall x$ （即序列一致有界）；
② $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n(x)$ 一致收敛；
$$ \implies \sum a_n(x)b_n(x) \text{ 一致收敛} $$
狄利克雷 (Dirichlet) 的逻辑： $b_n(x)$的能力比较弱，它的部分和只能做到不爆炸（一致有界），无法自主收敛。这时候就需要$a_n(x)$ 展现出极强的压制力（单调地一致趋于 0），硬生生把整个级数拉进收敛的怀抱。
阿贝尔 (Abel) 的逻辑： $b_n(x)$本身已经足够优秀，自己就已经能做到一致收敛了。这时候对$a_n(x)$ 的要求就会放松，它不需要趋于 0，只需要在旁边安分守己，不要帮倒忙破坏稳定性即可（单调且一致有界）。