我们希望求解无穷级数：
$$ S(1) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = ? $$
为了解决它，引入一个辅助幂级数（Power Series）函数 $S(x)$：
$$ S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2} $$
收敛半径（Radius of convergence）：$R = 1$
收敛域（Domain of convergence）：$[-1, 1]$在开区间$(-1, 1)$内，对$S(x)$ 进行逐项求导：
$$ S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n-1}}{n^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n-1}}{n}, \quad x \in (-1, 1) $$
为了方便消除分母中的 $n$，给两边同乘以 $x$：
$$ x S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}, \quad x \in (-1, 1) $$
再次对两边关于 $x$ 求导：
$$ (x S'(x))' = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n-1} $$
注意到右边是一个首项为 $1$、公比为 $x$的无穷几何级数（等比级数），在$|x| < 1$ 时收敛：
$$ \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x} $$
由此得到闭式方程：
$$ (x S'(x))' = \frac{1}{1-x} $$
现在我们需要通过积分，从 $(x S’(x))’$一步步还原出$S(x)$。
对上式两边从 $0$到$x$ 进行定积分：
$$ x S'(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-t} \, dt $$
利用换元法（令 $u = 1-t, , du = -dt$）可得：
$$ x S'(x) = \Big[ -\ln(1-t) \Big]_{0}^{x} = -\ln(1-x), \quad x \in (-1, 1) $$
将 $x$ 除到右边：
$$ S'(x) = -\frac{1}{x} \ln(1-x) $$
再次从 $0$到$x$积分以还原函数$S(x)$：
$$ S(x) = \int_{0}^{x} -\frac{1}{t} \ln(1-t) \, dt $$
因为 $S(x)$在$x=1$处是连续的，所以可以通过从左侧逼近$1$（左极限）来求得 $S(1)$ 的值：
$$ \lim_{x \to 1^-} S(x) = \lim_{x \to 1^-} \int_{0}^{x} -\frac{1}{t} \ln(1-t) \, dt $$
$$ S(1) = \int_{0}^{1} -\frac{1}{t} \ln(1-t) \, dt $$
但是这个积分我们可以看到，在 $1$ 这个点的函数值是往无穷跑的，这和我们熟悉的黎曼积分就相悖了，被称为所谓广义积分。
广义积分
广义积分的分类
广义积分（又称反常积分）主要分为两大类：
无穷积分（积分区域 $\infty$）：积分区间为无穷区间（例如 $[a, +\infty)$、$(-\infty, b]$或$(-\infty, +\infty)$）。
瑕积分（函数 $\infty$）：积分区间虽然有限，但被积函数在区间内的某些点（瑕点）附近趋于无穷大。
积分与级数的类比关系
定积分/广义积分与数项级数之间的直观对应纽带：
$$ \begin{aligned} \int_{a}^{A} f(x) \, dx \quad &\longleftrightarrow \quad \sum_{n=1}^{N} a_n \\ \bigg\downarrow A \to +\infty, \ x \longleftrightarrow n \quad & \qquad\quad \bigg\downarrow N \to +\infty \\ \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx \quad &\longleftrightarrow \quad \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \quad (S_n \to S) \end{aligned} $$
直观理解：有限区间的定积分对应级数的有限部分和 $S_n$；当上限趋于无穷时，无穷限广义积分在本质上就对应着无穷级数的求和与收敛性。
无穷积分
无穷限积分的严格定义
1. 前提条件
设函数 $f(x)$在区间$[a, +\infty)$上有定义，并且在任意有限区间$[a, A]$ 上都是可积的。
2. 收敛与定义
若极限
$$ \lim_{A \to +\infty} \int_{a}^{A} f(x) \, dx $$
存在（设其值为 $I$），则称广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ 收敛。
此时，定义该广义积分的值为这个极限值：
$$ \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = I $$
3. 发散
若上述极限不存在，则称广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ 发散。
计算示例
示例 1
求广义积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} , dx$ 的收敛性及值。
$$ \lim_{A \to +\infty} \int_{1}^{A} \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{A \to +\infty} \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{A} = \lim_{A \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{A} \right) = 1 $$
结论：该广义积分收敛，其值为 $1$。
示例 2
求广义积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} , dx$ 的收敛性及值。
$$ \int_{0}^{A} e^{-x} \, dx = \left. -e^{-x} \right|_{0}^{A} = 1 - e^{-A} \xrightarrow{A \to +\infty} 1 $$
结论：该广义积分收敛，其值为 $1$。
$p$-广义积分的收敛性
讨论积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} , dx \quad (p \in (0, +\infty))$ 的收敛性：
当 $p \in (0, 1]$ 时，该广义积分发散。
当 $p > 1$ 时，该广义积分收敛。
广义积分收敛的柯西准则（Cauchy Criterion）
定理（柯西准则）：
广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$收敛的充要条件是：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists X_{\varepsilon} \ge a$，使得对于任意的 $A_1, A_2 > X_{\varepsilon}$，均有：
$$ \left| \int_{A_1}^{A_2} f(x) \, dx \right| \le \varepsilon $$
级数类比：这完美对应了数项级数收敛的柯西准则 $\left| \sum_{k=n}^{m} a_k \right| < \varepsilon$。当区间足够远时，尾部的积分贡献可以忽略不计。
广义积分的性质与误区
1. 线性性质
若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$收敛，且$\int_{a}^{+\infty} g(x) , dx$收敛，则对于任意常数$c_1, c_2$：
$$ \int_{a}^{+\infty} (c_1 f(x) + c_2 g(x)) \, dx \quad \text{亦收敛} $$
2. 关于“被积函数趋于 $0$”的直观误区
疑问：若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$收敛，当$x \to +\infty$ 时，$f(x)$是否必然趋于$0$？
结论与图形直观：不一定。
一个经典反例提示：我们可以构造一个函数，它在无穷远处有无数个越来越窄的“脉冲尖峰”（例如在每个整数 $n$处，尖峰高度为$1$，但宽度为 $\frac{1}{2^n}$）。
此时，虽然当 $x \to +\infty$时$f(x) \not\to 0$（极限甚至不存在），但由于尖峰的面积（即积分贡献）呈几何级数衰减，整个广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ 依然是收敛的。
审敛法
绝对收敛与条件收敛
类似于数项级数，变号函数的广义积分根据其绝对值的可积性分为以下两种情况：
绝对收敛（Absolute Convergence）
若广义积分 $\int_{a}^{+\infty} |f(x)| , dx$收敛，则称广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ 绝对收敛。
条件收敛（Conditional Convergence）
若广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$收敛，但$\int_{a}^{+\infty} |f(x)| , dx$发散，则称广义积分$\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$ 为条件收敛。
图形直观：正负面积相互抵消使得原积分可能收敛；但如果把负半轴全部翻折上去取绝对值，面积累加过快就可能导致发散，这就构成了条件收敛。
非负函数广义积分的有界性定理
对于始终非负的被积函数，其积分具有单调递增的特性，因而其收敛性与有界性完全等价。
定理：
设 $f(x) \ge 0, \ x \in [a, +\infty)$。
则广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$收敛$\Longleftrightarrow$ $\exists M > 0$，使得：
$$ \int_{a}^{A} f(x) \, dx \le M, \quad \forall A \ge a $$
核心逻辑：非负函数的变上限积分 $F(A) = \int_{a}^{A} f(x) , dx$是关于$A$的单调递增函数。根据单调有界原理，只要它上有界，当$A \to +\infty$ 时极限就必然存在。
非负函数广义积分的比较判别法
类似数项级数，我们也有比较判别法：
设在 $x \to +\infty$ 时，两个非负函数满足：
$$ 0 \le f(x) \le g(x) $$
或者考虑它们的极限形式（极限审敛法）：
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = k $$
- 通过已知敛散性的基准函数 $g(x)$（通常为 $p$-积分 $\frac{1}{x^p}$），即可“放大”或“缩小”来锁定目标函数 $f(x)$ 的收敛状态。
比较判别法应用示例
示例 1
分析广义积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{x^2}{x^4 + \sin^2(x)} , dx$ 的收敛性。
由于 $\sin^2(x) \ge 0$，在区间 $[1, +\infty)$ 上显而易见有如下不等式关系：
$$ 0 \le \frac{x^2}{x^4 + \sin^2(x)} \le \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^2} $$
因为基准 $p$-积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} , dx$收敛（此时$p = 2 > 1$），根据非负函数的比较判别法，原积分收敛。
示例 2
分析广义积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} , dx$ 的收敛性。
我们可以将积分区间拆分为 $[0, 1]$和$[1, +\infty)$。由于被积函数在有限区间 $[0, 1]$上连续，该部分定积分必然存在，因此只需考察无穷限部分$\int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} , dx$。
当 $x \ge 1$时，有$x^2 \ge x$，从而引出不等式：
$$ e^{-x^2} \le e^{-x} $$
因为 $\int_{1}^{+\infty} e^{-x} , dx$已知收敛，根据比较判别法，原积分$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} , dx$ 亦收敛。
(注：黑板上此处写出的 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$为该积分在$[0, +\infty)$ 上的精确高斯积分值)
阿贝尔判别法（Abel’s Test）
1. 经典引例
讨论变号函数积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^p} , dx$ 的收敛性：
当 $p > 1$时：由于$\left| \frac{\sin(x)}{x^p} \right| \le \frac{1}{x^p}$，原积分绝对收敛。
当 $p \in (0, 1]$时：原积分条件收敛。为了系统性证明此类单调递减驱向$0$ 的函数与振荡函数乘积的收敛性，需要引入更高级的判别法。
2. 定理：阿贝尔判别法（Abel’s Test）
考察积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x) , dx$，若满足以下两个条件：
$f(x)$在$[a, +\infty)$ 上单调且有界；
广义积分 $\int_{a}^{+\infty} g(x) , dx$ 收敛；
则广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x) , dx$ 收敛。
三、 定理的数学证明与推导
有两种主流的微积分证明路径：
路径 A：利用积分第二中值定理（配合柯西准则）
根据广义积分收敛的柯西准则，我们需要证明当 $A_1, A_2$充分大时，保持$\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x)g(x) , dx \right| \le \varepsilon$。
由于 $f(x)$在$[A_1, A_2]$ 上单调，由积分第二中值定理，$\exists \xi \in [A_1, A_2]$，使得：
$$ \left| \int_{A_1}^{A_2} f(x)g(x) \, dx \right| = \left| f(A_1) \int_{A_1}^{\xi} g(x) \, dx + f(A_2) \int_{\xi}^{A_2} g(x) \, dx \right| $$
因为 $f(x)$有界，即$|f(x)| \le K$；
因为 $\int_{a}^{+\infty} g(x) , dx$收敛，由柯西准则，当$A_1, A_2$足够大时，其子区间的积分$\int_{A_1}^{\xi} g(x) , dx$和$\int_{\xi}^{A_2} g(x) , dx$ 均可任意小。
由此可证整个积分式趋近于 $0$，即满足收敛条件。
路径 B：利用分部积分法（进一步探讨可导情形）
假设 $f(x)$在区间上具有连续导数$f’(x)$，且不失一般性，设 $f(x) \downarrow f$且$f’(x) \le 0$。
设 $G(x) = \int_{a}^{x} g(t) , dt$。由于 $\int_{a}^{+\infty} g(x) , dx$收敛，可知$G(x)$在无穷远处极限存在且有界，即存在常数$M$使得$|G(x)| \le M$。
对原式进行分部积分：
$$ \int_{a}^{A} f(x)g(x) \, dx = \left. f(x)G(x) \right|_{a}^{A} - \int_{a}^{A} f'(x)G(x) \, dx = f(A)G(A) - f(a)G(a) - \int_{a}^{A} f'(x)G(x) \, dx $$
现在对 $A \to +\infty$ 取极限，逐项分析：
第一项 $f(A)G(A)$：当 $A \to +\infty$ 时，$f(A)$ 极限存在（单调有界原理），$G(A)$ 极限存在，故该项极限必然存在。
最后一项积分项：考察其绝对值以验证是否绝对收敛：
$$ \int_{a}^{A} |f'(x)G(x)| \, dx \le M \int_{a}^{A} |f'(x)| \, dx $$
因为已知 $f’(x) \le 0$，所以 $|f’(x)| = -f’(x)$。带入积分可得：
$$ M \int_{a}^{A} -f'(x) \, dx = M \Big| \int_{a}^{A} f'(x) \, dx \Big| = M |f(a) - f(A)| = \tilde{M} $$
由于 $f(A)$在无穷远处有界，该积分项被一个常数$\tilde{M}$ 控制（上有界）。由于非负函数变上限积分上有界，该积分必然收敛。
总结：分部积分后的各项在 $A \to +\infty$ 时极限均存在，从而圆满证明了阿贝尔判别法的正确性。
利用阿贝尔判别法，就不难知道 $p$ 广义积分的收敛。
发散的示例
当 $p \in (0, 1]$ 时，广义积分的绝对值积分是发散的：
$$ \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin(x)|}{x^p} \, dx = +\infty $$
为了证明其发散，只需证明当上限 $A \to +\infty$ 时，变上限积分没有上界。
推导与放大步骤
1. 缩小区间
让上限 $A$取一个特定的离散值$N\pi$（其中 $N$为足够大的正整数），并将下限由$1$缩小到$\pi$（由于 $[1, \pi]$ 上的积分为有限常数，省去后不影响敛散性判断）：
$$ \int_{1}^{A} \frac{|\sin(x)|}{x^p} \, dx \ge \int_{\pi}^{N\pi} \frac{|\sin(x)|}{x^p} \, dx $$
2. 区间拆分（离散化为级数）
利用定积分的区间可加性，将 $[\pi, N\pi]$拆分为$N-1$个长度为$\pi$的小区间$[k\pi, (k+1)\pi]$ 之和：
$$ = \sum_{k=1}^{N-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin(x)|}{x^p} \, dx $$
3. 分母放大（整体缩小）
在每一个子区间 $x \in [k\pi, (k+1)\pi]$上，由于$x^p$是单调递增的，为了将变量$x$从分母中提取出来，我们把分母替换为其在区间右端点的最大值$((k+1)\pi)^p$。
分母变大，整个分式变小，从而得到不等式：
$$ \ge \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{((k+1)\pi)^p} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin(x)| \, dx $$
4. 计算正弦函数的周期面积
注意到正弦函数绝对值 $|\sin(x)|$在任意长度为$\pi$的半周期区间上的积分都是一个固定的常数$C$：
$$ C = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin(x)| \, dx = \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = \left. -\cos(x) \right|_{0}^{\pi} = 1 - (-1) = 2 $$
将 $C = 2$ 代入上式，并把常数项提出来：
$$ = \frac{2}{\pi^p} \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{(k+1)^p} $$
当 $p \in (0, 1]$时，根据$p$-级数的敛散性原理（或当 $p=1$时作为著名的调和级数），级数$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(k+1)^p}$是发散的，其和为$+\infty$。
既然缩小的下界在 $N \to +\infty$ 时都趋于无穷大，根据夹逼准则（比较判别法），原绝对值积分必然发散。
最终结论：当 $p \in (0, 1]$时，广义积分$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^p} , dx$ 不是绝对收敛的。结合此前阿贝尔判别法的结论，它在此区间内是条件收敛的。
全直线上广义积分
对于积分上下限皆为无穷的情形，其定义类似于单侧无穷限积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx$和$\int_{-\infty}^{b} f(x) , dx$。
定义：
广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx$ 收敛的充要条件（$\Longleftrightarrow$）是：在实数轴上任意选择一个基准点（通常选 $0$），将其拆分为两部分，这两部分都必须独立收敛。即：
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx \text{ 收敛} \Longleftrightarrow \int_{-\infty}^{0} f(x) \, dx \text{ 收敛} \quad \text{且} \quad \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \text{ 收敛} $$
此时，定义该积分的值为两部分单独求极限后的和：
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx $$
逻辑单向性与柯西主值（Cauchy Principal Value）
1. 单向蕴含关系
如果广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx$ 收敛，那么我们让对称的上下限同时趋于无穷大，其极限也必然存在：
$$ \lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^{A} f(x) \, dx \quad \text{存在} $$
注意：反之不成立！ 这种对称逼近的极限存在，并不能代表原广义积分收敛。
2. 柯西主值的定义
为了定义这种“对称取极限”的特殊积分状态，引入柯西主值的概念，记作 $\text{P.V.}$（Principal Value）：
$$ \text{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^{A} f(x) \, dx $$
经典反例与辨析
“柯西主值存在 $\not\Rightarrow$ 广义积分收敛”
考察函数：
$$ f(x) = \frac{x}{1+x^2} $$
1. 严格定义视角
我们将其按定义拆分，优先考察右侧半轴的广义积分：
$$ \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx = \lim_{A \to +\infty} \left. \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right|_{0}^{A} = \lim_{A \to +\infty} \frac{1}{2} \ln(1+A^2) = +\infty \quad (\text{发散}) $$
同理，左侧半轴的积分 $\int_{-\infty}^{0} \frac{x}{1+x^2} , dx = -\infty$ 亦发散。
结论：根据定义，原广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} , dx$ 发散。
2. 柯西主值视角
由于该被积函数 $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$是一个奇函数（满足$f(-x) = -f(x)$），对其在对称区间 $[-A, A]$ 上进行定积分：
$$ \int_{-A}^{A} \frac{x}{1+x^2} \, dx = 0 \quad (\text{奇函数在对称区间上的积分恒为 } 0) $$
此时对其取极限：
$$ \text{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} \, dx = \lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^{A} \frac{x}{1+x^2} \, dx = \lim_{A \to +\infty} 0 = 0 $$
结论：该积分的柯西主值存在，且等于 $0$。
核心总结：
广义积分收敛是一种极其严格的考核，要求负无穷和正无穷两端“各自为政、独立收敛”；而柯西主值 $\text{P.V.}$ 则允许两端的面积在同步对等（对称）扩大的过程中“相互抵消”。因此，不能将两者混为一谈。
瑕积分
一、 瑕积分与瑕点的严格定义
当积分区间为有限区间 $[a, b]$，但被积函数在区间端点无界时，需要引入瑕积分的概念。以下以左端点 $a$ 为瑕点为例：
1. 前提与定义
设函数 $f(x)$在半开区间$(a, b]$上有定义。若$f(x)$在点$a$的右邻域内无界，则称点$a$为$f(x)$ 的一个瑕点（Singular Point / Singular end）。
2. 收敛与发散
若 $f(x)$在任意有限子区间$[a+\delta, b]$（其中 $0 < \delta < b-a$）上可积，且极限：
$$ \lim_{\delta \to 0^+} \int_{a+\delta}^{b} f(x) \, dx $$
存在，则称广义积分 $\int_{a}^{b} f(x) , dx$ 收敛。
若上述极限不存在，则称该瑕积分发散。
图形直观：在曲线下方，当 $x \to a^+$时，函数曲线垂直向上飙升趋于无穷。我们切掉靠近$a$的一小段$\delta$，计算 $[a+\delta, b]$的阴影面积，最后让$\delta \to 0^+$ 观察该面积是否能稳定收敛到一个常数。
二、 瑕积分与无穷限积分的转换（倒数换元）
瑕积分和无穷限积分在本质上可以相互过渡。
设 $a$为瑕点，对积分$\int_{a+\delta}^{b} f(x) , dx$ 作倒数换元：
令 $t = \frac{1}{x-a}$，则 $x = \frac{1}{t} + a$，从而 $dx = -\frac{1}{t^2} , dt$。
变换积分上下限：
- 当 $x = b$ 时，$t = \frac{1}{b-a}$- 当$x = a+\delta$ 时，$t = \frac{1}{\delta}$
带入积分式中：
$$ \int_{a+\delta}^{b} f(x) \, dx = \int_{\frac{1}{\delta}}^{\frac{1}{b-a}} f\left(\frac{1}{t}+a\right) \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt = \int_{\frac{1}{b-a}}^{\frac{1}{\delta}} f\left(\frac{1}{t}+a\right) \frac{1}{t^2} \, dt $$
当 $\delta \to 0^+$时，上限$\frac{1}{\delta} \to +\infty$。于是瑕积分成功转化为一个无穷限广义积分：
$$ \int_{\frac{1}{b-a}}^{+\infty} f\left(\frac{1}{t}+a\right) \frac{1}{t^2} \, dt $$
三、 几何对称性与对偶性
函数 $y = \frac{1}{x}$（或类似反比例曲线）在第一象限的图像，并将其沿着对角线 $y=x$ 做区域划分：
区域 $I_1$：代表横向向右延伸到正无穷的区域，对应无穷限积分。
区域 $I_2$：代表纵向向上延伸到正无穷的区域，对应瑕积分。
图形直观地揭示了：从图形面积的几何互换（或反函数、坐标轴对调）视角来看，无穷限积分与瑕积分只是同一个几何实体在不同轴向上的投影，这也解释了为什么两者的分析工具和结论具有高度的对称性。
$q$-瑕积分的敛散性
黑板最右侧给出了瑕积分中最重要的基准判别式：分析积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^q} , dx \quad (q > 0)$的收敛性（此时$x=0$ 为瑕点）。
先求邻域定积分：
$$ \int_{\delta}^{1} \frac{1}{x^q} \, dx = \left. \frac{1}{1-q} x^{1-q} \right|_{\delta}^{1} = \frac{1}{1-q} (1 - \delta^{1-q}) $$
当 $\delta \to 0^+$ 时，分类讨论极限情况：
当 $q \in (0, 1)$ 时：
由于 $1-q > 0$，当 $\delta \to 0^+$ 时，$\delta^{1-q} \to 0$。
极限存在，值为 $\frac{1}{1-q}$。因此该瑕积分收敛。
当 $q > 1$ 时：
由于 $1-q < 0$，可写为 $\frac{1}{\delta^{q-1}}$。当 $\delta \to 0^+$ 时，$\delta^{1-q} \to +\infty$。
极限为无穷大，因此该瑕积分发散。
当 $q = 1$ 时（单独讨论）：
$$ \int_{\delta}^{1} \frac{1}{x} \, dx = \left. \ln(x) \right|_{\delta}^{1} = \ln(1) - \ln(\delta) = -\ln(\delta) $$
当 $\delta \to 0^+$ 时，$-\ln(\delta) \to +\infty$。因此该瑕积分发散。
💡 核心总结与对比（避坑指南）
对比此前无穷限 $p$-积分的结论，我们可以发现一个非常优美的“相反”镜像：
无穷限积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} , dx$：空间太大，需要幂次足够大 ($p>1$) 才能把函数压得足够低从而收敛。
瑕积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^q} , dx$：高度太高，需要幂次足够小 ($q<1$) 才能控制住瑕点处的爆炸速度从而收敛。
瑕点的其它情形与严格定义
1. 右端点为瑕点
同理，若函数 $f(x)$在半开区间$[a, b)$上有定义，且右端点$b$为$f(x)$ 的瑕点。则可定义瑕积分为左极限：
$$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\delta \to 0^+} \int_{a}^{b-\delta} f(x) \, dx $$
2. 区间内部为瑕点
若瑕点 $c$位于积分区间$(a, b)$的内部（即$c \in (a, b)$为$f(x)$ 的瑕点），其收敛性定义要求两边独立收敛：
$$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \text{ 收敛} \Longleftrightarrow \int_{a}^{c} f(x) \, dx \text{ 收敛} \quad \text{且} \quad \int_{c}^{b} f(x) \, dx \text{ 收敛} $$
按照极限的严格写法，两边需要使用独立的扰动量（$\delta$和$\varepsilon$）分别逼近 $c$：
$$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\delta \to 0^+} \int_{a}^{c-\delta} f(x) \, dx + \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{c+\varepsilon}^{b} f(x) \, dx $$
图形直观：在内部瑕点 $c$处，函数曲线两侧同时向正负无穷延伸（类似于$\frac{1}{x}$在$0$附近）。严格定义要求挖掉$[c-\delta, c+\varepsilon]$这一段，并在$\delta, \varepsilon$各自独立趋于$0$ 时两侧面积均存在极限。
瑕积分的柯西主值（Cauchy Principal Value）
如果强行令两侧逼近瑕点的速度完全对称（即令 $\delta = \varepsilon$），此时对应的极限被称为瑕积分的柯西主值，记作 $\text{P.V.}$：
$$ \text{P.V.} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\delta \to 0^+} \left( \int_{a}^{c-\delta} f(x) \, dx + \int_{c+\delta}^{b} f(x) \, dx \right) $$
经典实例分析
考虑 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} , dx$ 。
1. 严格定义视角
将积分以 $0$ 为界拆分为两部分：
右侧：$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} , dx$发散（根据$q$-瑕积分定理，$q=1$ 发散）；
左侧：$\int_{-1}^{0} \frac{1}{x} , dx$ 亦发散。
由于两部分不能同时独立收敛，根据定义：
$$ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \, dx \quad \mathbf{\text{发散}} $$
2. 柯西主值视角
采用对称的边界 $\delta$同时逼近瑕点$0$：
$$ \lim_{\delta \to 0^+} \left( \int_{-1}^{-\delta} \frac{1}{x} \, dx + \int_{\delta}^{1} \frac{1}{x} \, dx \right) $$
由于 $\frac{1}{x}$是奇函数，在对称挖空的区间$[-1, -s] \cup [s, 1]$上，正负面积完全抵消，积分值恒为$0$：
$$ \lim_{\delta \to 0^+} \left( \ln|-1| - \ln|-\delta| + \ln|1| - \ln|\delta| \right) = \lim_{\delta \to 0^+} (0 - \ln \delta + 0 + \ln \delta) = \lim_{\delta \to 0^+} 0 = 0 $$
由此得到：
$$ \text{P.V.} \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \, dx = 0 $$