数学随笔8

归纳法在线性代数。

实对称矩阵可以相似对角化

1. 定理描述

实对称矩阵 必可写成 ，其中 是正交矩阵， 是实对角矩阵。

2. 数学归纳法证明逻辑

假设： 阶实对称矩阵均可正交对角化。 考察 阶实对称矩阵 ：

1. 构造基底：设 是 的一个实特征值， 是其对应的单位特征向量。将 扩充为 的一组基，经正交化、单位化得到标准正交基 ，组成正交矩阵 。
2. 矩阵变换：

变换为块矩阵形式：

(由于 仍为对称矩阵，故第一行其余元素必为 ) 3. 套用归纳假设：对于 阶实对称矩阵 ，存在正交阵 使得 。 4. 最终对角化：

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复矩阵的 Schur 分解 (Schur Decomposition)

1. 定理描述

定理：设 为 阶复方阵，则必存在一个 酉矩阵 (Unitary Matrix)（满足 ），使得：

其中 是一个上三角矩阵，其对角线元素即为 的特征值。

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2. 数学归纳法证明过程

该证明逻辑与实对称矩阵的正交对角化非常相似，但在复数域内进行。

A. 基础步骤 () 矩阵本身就是上三角阵，结论显然成立。

B. 归纳假设 假设所有 阶复矩阵都可以通过酉变换化为上三角阵。

C. 归纳步骤 ()

1. 寻找特征对：由于是在复数域 中，由代数基本定理可知 至少有一个特征值 及其单位特征向量 。
2. 构造酉阵：将 扩充为 的一组标准正交基，构造酉矩阵 。
3. 块变换：

这里 是一个 阶复矩阵。注意：由于 不一定是对称/厄米矩阵，右上角 通常不为零。 4. 嵌套归纳：根据假设，存在 阶酉阵 ，使得 为上三角阵。 5. 最终合成：令 ，则 为上三角矩阵。

正规矩阵 (Normal Matrix) 的谱定理

命题： 是正规矩阵（即 ）的充分必要条件是 酉相似于对角阵。

[!abstract] 归纳法逻辑

• 基础： 显然。
• 归纳：
  1. 取 的一个特征值及其单位特征向量 。
  2. 构造酉阵 。
  3. 计算 。
  4. 关键点：利用 是正规矩阵，证明 ，且 仍为正规矩阵。
  5. 对 使用归纳假设。

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厄米矩阵 (Hermitian Matrix) 的对角化

命题：复数域下的实对称矩阵版本——厄米矩阵（）必可酉对角化，且特征值均为实数。

• 证明差异：逻辑与实对称矩阵完全一致，只需将“转置 ”改为“共轭转置 ”，将“正交矩阵”改为“酉矩阵”即可。

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奇异值分解 (SVD) 的存在性证明

命题：对任意 矩阵 ，存在 。

[!abstract] 归纳法逻辑

• 步骤：
  1. 选取 的最大特征值 及其对应单位特征向量 。
  2. 令 。
  3. 分别扩充 和 为 和 酉矩阵。
  4. 构造 。
  5. 对剩余块 进行归纳。

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