数学随笔9

行列式与矩阵

行列式的原始定义：

然而几乎不会有人这么算。更常见的计算是行列变换成三角阵，然后计算对角线的乘积，但这也有些麻烦，能否直接通过矩阵得到关于行列式的信息呢。

（半）正定矩阵的行列式约束

则有： ； 等号成立 是对角矩阵（且对角元 ）。

证明过程

Cholesky 分解：，其中 是上三角可逆矩阵。 设 （其中 为下三角矩阵）：

根据矩阵乘法，对角线元素 可以表示为：

• *

推导如下：

结论： 只有当所有的非对角元 () 时，等号才成立，此时 为对角矩阵。

对于半正定矩阵，我们可以考虑 ，让 利用极限保号性就可知该命题也成立。

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Hadamard不等式

对 应用以上结论就得到了如上的 不等式。计算这样的乘积显然比计算行列式方便的多，如果我们只希望得到一个上界，就不需要费力地计算行列式。

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Fischer不等式

进一步地， 设 是一个 的正定矩阵（或半正定矩阵）。我们将 进行分块：

其中 是 的子矩阵， 是 的子矩阵。

Fischer 不等式指出：

等号成立的充分必要条件：

，即 是一个分块对角矩阵。

证明： 对于分块正定矩阵 ，其行列式可以改写为：

关键点：

1. 因为 是正定的，所以 也是正定的，从而 存在且正定。

2. 矩阵 是一个半正定矩阵（记为 ）。

3. 因此，。在正定矩阵的序关系中，（即 是半正定的）。

4. 根据[[数学随笔2#正定加半正定行列式不变小]]，我们有：

当且仅当 时等号成立，由于 正定，这要求 。