尽管可能显得欠缺一定的连续性，先论述线性空间是合理的，尔后再从多项式延展到空间分解才更为自然，或许不妨看做两个分支，从线性空间和多项式环合并而导回线性代数的主分支。

仍然给出一坨定义：

线性空间的结构

线性空间的定义与公理体系

线性空间是一个非空集合 （其中的元素称为抽象向量），建立在数域 之上，并定义了两种运算：加法与数乘。

核心运算与封闭性

1. 加法 (Vector Addition)：

   • 定义：

   • 映射：- 本质：集合 对加法运算封闭。

2. 数乘 (Scalar Multiplication)：

   • 定义：

   • 映射：- 本质：数域 中的标量与向量结合，结果仍留在 中。

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八条公理 (The 8 Axioms)

这八条准则共同构成了线性空间的骨架。前四条确立了 在加法下的交换群（阿贝尔群）地位，后四条规定了数乘与加法的兼容性。

1. 加法性质（交换群）

• (1) 交换律： - (2) 结合律：- (3) 存在单位元（零元素）： 存在元素 ，使得 - (4) 存在逆元（负元素）： 对任何 ，都有 ，使得

  推论： 零元素与负元素在给定空间中是唯一的。

2. 数乘性质

对 以及 ：

• (5) 数乘单位元： - (6) 数乘结合律：- (7) 左分配律：- (8) 右分配律：

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是能与 作数乘的交换群。

与环的对比

如果把代数结构比作某种构建规则，线性空间强调的是层次间的互动，而环强调的是内部的自我演化。

• 环（Ring） 是一个 “自给自足” 的单集结构。它在一个集合 上定义了两种二元运算：加法和乘法。所有的操作（ 或 ）都发生在 内部。你可以把它想象成一个封闭的黑盒，里面的元素通过两种规则自我碰撞。

• 线性空间（Vector Space） 是一个 “双集联动” 的结构。它涉及两个集合：一个向量集 和一个数域 （标量）。加法是 内部的互动，但乘法（数乘）是跨界的——由域 中的“外部力量”作用于 中的元素。

这部分讲义将讨论的重心从线性空间的“定义”转向了它的结构度量。如果说公理是空间的“宪法”，那么基（Basis） 与维数（Dimension） 就是它的“骨架”与“尺度”。

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类似我们熟悉的向量组的讨论，线性空间也可以完全类似地定义基、维数等，事实上我们将看到线性映射和矩阵是同构的。

基、维数与同构

向量组的秩与极大无关组

• 极大无关组：向量组可以有许多不同的极大无关组，但它们包含的向量个数必然相同。

• 秩（Rank）：极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。

基底与维数

对于线性空间 的子集 ：

1. 线性表出：若 中每个向量都能表示为 中有限个向量的线性组合，称 能线性表出 。

2. 线性无关：若 的任意有限子集都线性无关，则称 线性无关。

基底（Basis）的定义：

若子集 同时满足：

1. 线性无关；

2. 能线性表出 ；

   则称 是 的一组基。

• 维数（Dimension）：

  • 若 是有限集，则称 为有限维线性空间。

  • 的任意两组基包含的向量个数相同，这个常数称为 的维数，记为 。

  • 规定零空间 的维数为 。

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引理与推论

• 引理：设 线性无关，则 线性相关 能被 线性表出。

• 扩充定理（推论）：在有限维线性空间 中，任何线性无关的向量组 都能扩充为 的一组基。

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基底的判定定理

设 是有限维线性空间 的子集，以下三个条件中只要有两个成立，则三个条件都成立（即 构成 的基）：

1. 线性无关；

2. 能线性表出 ；

3. （向量个数等于空间维数）。

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坐标同构 一旦在线性空间 中取定了一组基 ，那么 中的每一个元素 都可以唯一地表示为：

• 坐标：列向量 称为 在该基下的坐标。

• 本质：这种一一对应关系保持了加法和数乘运算。这意味着，任何 维线性空间在代数结构上都与 是一模一样的（同构）。

关于基、换基等操作，可以在数学随笔3.基底思想阅读。

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子空间的运算

线性子空间的定义

若线性空间 的子集 满足以下三条性质，则称 是 的子空间：

1. 非空性/包含零向量： 2. 加法封闭性：若 ，则 3. 数乘封闭性：若 ，则

本质： 在 原有的运算下也构成一个完备的线性空间，自动满足八条公理。

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子空间的性质与构造

• 定理（基扩张与维数）：

  • 子空间 的基都能扩充成全空间 的基。

  • 维数不等式：。

  • 等号成立条件：。

• 给出子空间的几种方式：

  1. 生成元方式：由一组向量生成的张成空间 。

  2. 解空间方式：作为齐次线性方程组 的解集。

  3. 运算构造方式：通过交、和、正交补（内积空间中）等运算得到。

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子空间的运算：交与和

1. 子空间的交 (Intersection)

• 定理：若 是 的子空间，则其交集 也是 的子空间。

• 注意：并集 一般不是子空间，除非其中一个包含另一个（即 或 ）。

2. 子空间的和 (Sum)

• 定义：若 是 的子空间，集合 称为 与 的和，记为 。

• 性质： 也是 的子空间。

• 生成元表示：

  若 ，，

  则 。

相比于并，和更能体现线性空间的味道，例如两条直线的并是两条直线作为一个整体，但是和则是铺成一个平面，带有了线性运算。同时，和可以直接构造子空间，并则不太容易。

维数公式

一、 定理内容

若 是线性空间 的子空间，则它们的和空间与交空间的维数满足以下关系：

直观理解：两个空间的合并维数，等于各自维数之和减去重复计算的交集部分维数。这与集合论中的容斥原理极其相似。

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二、 证明概要

证明的核心在于通过基的扩充构造出一组能张成 的线性无关组。实际上在数学随笔3之基底思想已经干过完全一样的证明了。

1. 取交空间的基：设 的一组基为 。此时 。

2. 向两侧扩充：

   • 将其扩充为 的基：。则 。

   • 将其扩充为 的基：。则 。

3. 构造和空间的基：证明 线性无关且张成 。

   • 若线性组合为零：。

   • 变形得： 的组合属于 ，因此必然落在交集 中。

   • 利用交空间的基表出并结合线性无关性，推出所有系数全为 。

4. 结论：。

   • 代入等式：，公式成立。

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线性无关、直和与唯一性表示

一、 线性无关 表出唯一

对于向量组 ：

• 核心逻辑：如果该向量组表示零向量的方式是唯一的，那么它表示任何能表出的向量的方式都是唯一的。

若满足表达零向量唯一，则设有两种方法表示 ，作差就得到两种方法的系数必须一样，那也就实际上只有一种方法。

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二、 子空间的直和 (Direct Sum)

当我们将讨论的对象从“单个向量”提升到“子空间”时，唯一性依然是判定结构的核心。

1. 表示方式的定义

设 是 的子空间。对于和空间 中的任意向量 ，其表示方式为：

有序组 称为 的一种表示。

2. 直和的判定：零向量的唯一性

• 定理：表示零向量的方式唯一 表示任何向量的方式都唯一。

• 直和的定义：若 中任何元素的表示方式都唯一，则称该和为直和，记为：

• 推导过程：

  • 如果表示零向量的方式不唯一（存在非零向量之和为 ），则通过加法叠加，任何向量的表示都会有无数种组合。

  • 反之，若表示 的方式唯一（即 ），则由 的两种表示作差，立得两种表示完全一致。

直和的本质是子空间之间“不重叠”（除零向量外）。

• 非直和情形：若 ，则存在非零向量 。此时零向量可以有非平凡表示：。几何上表现为两个平面（或线）交于一条线。

• 直和情形：若 ，则 。这意味着分解方式唯一。几何上表现为两个空间仅交于原点。

当涉及多个子空间 时，两两交为零是不够的，必须满足更强的条件。

定理：

是直和，当且仅当对每一个 ()，第 个子空间与它前面所有子空间之和的交集仅含零向量：

• 证明要点：

  • 充分性：设 。取最后一个非零向量 ，则 。这导致 落在 与前面子空间和的交集中，与条件矛盾。

  • 必要性：若交集不为零，则存在非零向量能被前面的向量组表出，导致零向量的表示不唯一。

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三、 等价命题定理

以下命题对于判定子空间是否构成直和是等价的：

• 表示唯一性： 是直和（即表示 的方式唯一）。

• 基的保持性：分别取子空间 的基，将这些基向量合并后，得到的向量组在全空间中依然线性无关。

  • 换句话说，这些基向量合并后构成了和空间 的一组基.。

• 维数和： 当 （即 ）时，维数公式简化为：

此时的和称为直和，记作 。这意味着和空间中的每一个向量都可以唯一地表示为 和 中向量的和。

我们看一个定理，这实际上在数学随笔之范德蒙德行列式的意外出现有提到过，讨论的就是直和。

定理：

设 是方阵 对应于不同特征值 的特征子空间，则它们的和是直和。

• 证明思路（范德蒙德法）：

  1. 设 ，其中 。

  2. 利用 左乘该式 次，根据 ，得到一系列线性方程：

3. 由于特征值 两两不同，对应的范德蒙德行列式不为零，从而推导出每个分量 必须全为 。

还可以更进一步，考虑所谓广义特征子空间。

广义特征子空间的直和与多项式分解

一、 广义特征子空间的直和性

定理：

设 是矩阵 的互异特征值， 为对应的幂次，则其广义特征子空间之和是直和：

• 证明逻辑（构造性矛盾法）：

  1. 假设存在非零向量之和为零：。

  2. 对 ，寻找使其“退化”到特征向量层级的最小指数 ，定义 。此时 是属于 的特征向量( 作用 是 )。

  3. 利用算子 左乘原式。

  4. 除了第一项，其余项均会因落在 中而消解为 。

  5. 最终导出 。由于特征值互异且 ，产生矛盾，从而证明各分量必为零。

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那之前大费周章学了那么多多项式的内容有什么用呢？实际上利用多项式我们可以给出空间的分解：

核空间分解定理的详细证明

一、 定理

设 两两互素。记 。对于 ，有：

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二、 证明步骤拆解

1. 证明和是“直和”

要证直和，只需证 ，其中 。

• 构造辅助多项式：记 ，即除去 后其余多项式的乘积。

• 利用互素性：由于 （对所有 ），推导出 与 互素，即 。

• 裴蜀等式 (Bézout’s Identity)：存在 使得 。

• 算子化：将 换成矩阵 ，作用于任意向量 ：

  • - 因为 ，故 。

  • 因为 在其余核空间的和中，而 包含所有其余因子，故 。

  • 结论：，故和为直和。

2. 证明核空间的包含关系

需证 。

• 以 为例：已知 ，则 。

• 对于 ：

（注：）

• 推广到一般情形：利用归纳法，将 视为 与 的积，层层剥离。

综合两方面证明就完成了。也就是说，从一个多项式的分解，我们可以得到一个空间的分解，这是非常美妙的。

如果我们想分解整个空间，要考虑什么多项式呢？

零化多项式与空间分解

一、 零化多项式 (Annihilating Polynomial)

• 定义：设 ，若存在多项式 使得 ，则称 为 的一个零化多项式。

• 经典示例：

  • 幂等变换（投影）： 是其零化多项式（因为 ）。

  • 对合变换（镜像）： 是其零化多项式（因为 ）。

二、 零化多项式驱动的空间全分解

核心定理：

若矩阵 的零化多项式 在域 上可分解为两两互素的因子乘积 ，则全空间 具有直和分解：

逻辑跃迁：这里因为 ，所以 直接就是整个空间 。

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三、 可对角化的充分必要条件

这是线性代数中最优雅的结论之一：

矩阵 在域 上可对角化，当且仅当 有一个零化多项式能在 上分解成互异的一次因式的乘积：

• 必要性推导：若 可对角化，则全空间是特征子空间的直和。作用算子 于任何向量都会得到 ，说明该乘积即为零化多项式。

• 充分性推导：若存在此类零化多项式，由核空间分解定理，全空间 会分解为各个特征子空间（或零空间）的直和：

这意味着 有一组由特征向量构成的基，即 可对角化。

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四、 案例应用：对合变换的分解

场景：设 ，考虑转置变换 。

1. 特征方程：显然 ，故零化多项式为 。

2. 空间直和：由于 与 互异，空间 可分解为：

3. 几何意义：

   • 是所有满足 的矩阵（对称矩阵）。

   • 是所有满足 的矩阵（反对称矩阵）。

   • 结论：任何方阵都能唯一地分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和：。

补空间与外直和

一、 补空间 (Complementary Subspace)

如果说子空间是空间的一部分，那么补空间就是“剩下那部分”的完美补充。

• 定义：设 是 的子空间。若满足 （即 是它们的直和），则称 与 互为补空间。

• 存在性定理：任何线性子空间都有补空间。

• 构造逻辑：

  1. 取 的一组基 。

  2. 将其扩充为全空间 的一组基 。

  3. 由扩充出来的向量 张成的子空间即为 的一个补空间。

• 注意：补空间通常不唯一。扩充基底的方式不同，得到的补空间在空间中的“姿态”也不同。

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二、 外直和 (External Direct Sum)

当我们手里有几个独立的线性空间，想要把它们合成一个更大的空间时，就需要用到外直和。

• 定义：设 是数域 上的线性空间，其外直和定义为笛卡尔积集合：

• 运算规则：

  • 加法：分量对位相加，。

  • 数乘：标量作用于每个分量，。

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三、 外直和与内直和的统一

虽然“外直和”是从多个集合构建新集合，但它本质上可以看作“内直和”。

• 嵌入与同构：

  构造 的子空间 ，使得 中的元素仅在第 个位置有非零向量，其余位置全为 ：

• 结论：

  1. （每个 都同构于原空间 ）。

  2. 整个外直和空间 恰好是这些子空间 的内直和：

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线性空间的同构

线性映射与同构的定义

设 是域 上的两个线性空间。若映射 满足：

1. 加法齐次性：

2. 数乘齐次性： 则称 是 到 的线性映射。

若 是双射（既是单射又是满射），则称 是 到 的线性同构，记作 。

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2. 同构的关键判定与定理

• 推论：设 是线性映射， 是 的一组基。 是 与 的线性同构 是 的一组基。

• 基础定理：有限维 -线性空间 与 同构的充要条件是它们的维数相等：

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3. 性质证明要点

• 满射判定： 是满射 张成 。

  即 中任意向量均可表示为 的线性组合：。

• 单射判定： 是单射 线性无关。

  证明思路：由 推导出 ，若 为单射则核为空，进而利用 的无关性证得 。

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4. 坐标同构 (Coordinate Isomorphism)

在 维线性空间 中取定一组基 后， 中的每个元素 与其坐标向量 之间建立了一一对应关系。

结论：这种对应保持了向量的加法与数乘运算，即 与向量空间 线性同构。

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5. 同构关系的性质

线性空间的同构关系满足：

• 自反性：- 交换性：若 ，则 - 传递性：若 且 ，则

  因此，同构是线性空间集合上的一个等价关系。

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6. 实例与应用

• 矩阵秩的性质：

  设矩阵 列满秩，则映射 是 到 的列空间的线性同构。

• 矩阵分解应用：

  若 ，则：

  1. 的秩 的秩。

  2. 的解空间 的解空间。

  3. 是 在基 下的坐标。

• 思考题：矩阵 的行空间与列空间同构吗？

  提示：由于行秩等于列秩，即维数相等，根据定理它们必然同构。

商空间与线性映射基本定理

商空间听起来很高级，实际上动机是简单的，我们知道重力势能可以简单地写为 ，那么水平方向如何运动便可以置之不顾了，那么我们略去三维中的两维，只看高度这一个坐标即可，商空间干的事其实也就是这样。

核心动机：忽略不相关的细节

在处理复杂事物时，我们往往只关注某些特定的“层面”。

• 数学直观：如果我们对子空间 方向的差异不感兴趣，就希望通过某种方式将其“抹去”或“淡化”。

• 几何想象：将高维空间沿 方向“压扁”，使得落在同一个与 平行的平面（陪集）上的所有点，在商空间视角下被视为同一个“元素”。

-陪集（Coset）

陪集是将空间 按照子空间 进行划分的基本单位。简单来说就是让 。按照之前的重力势能的比喻，就是说在同一个高度的坐标我们就看做一个陪集，认为他们都相等，这里就可以把 看做 坐标，即被弃置不顾的东西。

• 等价关系：定义 。

• 定义：对于 中的向量 ，其所在的等价类称为 的 -陪集，记作 。

• 代表元：陪集中的任何向量都可以作为该陪集的代表。只要 ，则 。

商空间 的代数结构

全体 -陪集的集合记为 。为了使其成为线性空间，定义了如下运算：

• 加法：

• 数乘：

• 良定义性：运算结果不依赖于陪集代表元的选取（需验证）。作差即可验证。

• 结论：在此运算下， 构成线性空间，称为 模 的商空间。

基与维度（Basis and Dimension）

这是将商空间具体化的关键。

• 定理：设 的一组基为 ，将其扩充为 的一组基 。

• 结论：剩余的向量所形成的陪集 构成了商空间 的一组基。

• 维数公式：

证明：

• 证明能表出（Spanning）：

  对于 中任意元素 ，将 用 的全基线性表示。由于 部分全部落在 中，在商运算（模 ）下，属于 的分量会自动坍缩为零元（即 ）。

这说明 足以覆盖整个商空间。

• 证明线性无关（Linear Independence）：

  设定线性组合为零元：。

  这意味着向量 必须落在子空间 内。

  根据基底的唯一定义，若一个仅由 组成的向量属于 ，由于全基 是线性无关的，所有系数 必须全为 。

线性映射的核心：核与像

对于任何线性映射 ，都有两个关键的子空间：

• 像空间 ： 中所有能被映射到的向量集合。它反映了映射的“广度”。

• 核空间 ： 中所有被映射到 的向量集合。它反映了映射丢失的“信息量”。

• 典范映射：特例情况下，映射 将向量映为其陪集 ，此时 ，。

线性映射基本定理

这是线性代数的高光时刻。定理指出：任何线性映射都可以被“分解”为一个同构映射。

• 同构关系：

• 直观理解：

  如果我们把定义域 中那些映射到同一个点的向量“打包”在一起（即作商空间，模掉 ），那么这个“包”的集合与像空间之间就是一一对应的。

• 性质：映射 是良定义的，且既是单射又是满射。

1. 诱导映射的构造

定义映射 ，其规则为：

• 代数上的相容性： 完美保持了向量的加法与数乘运算。

• 几何上的映射关系：原本在 中所有映射到同一个像点 的向量（它们构成一个 的陪集），现在被视为商空间中的一个整体。这意味着映射从“多对一”变成了一对一的线性同构。

具体的验证比较容易，就不打出来了。

2. 维度守恒：秩-零化度定理

基于 的同构关系，我们必然得到维度的平衡：

这可以看作是定义域空间的“能量守恒”：一部分维度坍缩到了零点（核空间），剩下的维度则铺开了映射的像（像空间）。

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矩阵视角的具象化：方程组与空间的映射

当我们将上述理论落地到矩阵 时，抽象的符号变成了直观的线性方程组特性：

抽象概念	矩阵具象	物理/几何意义
像空间	列空间 (Column Space)	矩阵各列向量线性组合所能张成的空间。
核空间	解空间 (Null Space)	齐次线性方程组 的全体解。
同构关系		剔除解空间后的输入，与输出空间达成一一对应。

结论

由基本定理可直接导出矩阵论的基石：

矩阵的秩（列空间的维数） + 解空间的维数 = 矩阵的列数。

这意味着，非齐次线性方程组 的解集之所以呈现出“特解 + 齐次核”的形态，本质上是因为它就是商空间中某一个特定的陪集。

商空间的使用方法：构造满射，模去核空间，得到同构

例：设 是线性空间 的子空间。证明：

证：映射 $\mathcal{A} : U \to (U + W) / W

是线性映射。

显然是满射 且 。

由线性映射基本定理即得到结论。

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的补空间 模 的商空间

定理：

设 的子空间 的有一个补空间 ，即 。则映射

是 的补空间 到商空间 的同构。

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