定义

在单变量的微积分中，我们通过黎曼和定义了定积分，那同样，我们可以通过它定义多重积分：

二重积分的黎曼和定义：

三重积分：

特征都差不多，同样是把一块区域划分成小块，从而化曲为直便于计算，也同样要求分割“直径”趋于0。

重积分的基本性质

这部分可以飞速浏览，几乎完全符合直觉（）

设在区域（或）上可积，。

1. 线性（Linearity）

三重积分同理：

本质：积分是“极限下的加权求和”，线性来自求和的线性。

2. 区域可加性（Additivity over domain）

若且内部不重叠，则

更一般：

两 两 内 部 不 交

本质：黎曼和可以拆块。

3. 保序性（Monotonicity）

若，则

特别地：

本质：每个小块上都不超过，总和自然不超过。

4. 估计（Bounding）

若

则

其中表示区域面积。

三维对应：

本质：函数被夹住 ⇒ 积分被夹住。

5. 绝对值不等式

本质：积分不会比“把每块都取绝对值再加”更大。

6. 积分中值定理（Integral Mean Value Theorem）

若在有界闭区域上连续，则存在使得

三维：

本质：积分 = “某个代表值 × 体积”。

7. 与常数函数的关系

本质：积分统一了“面积/体积”的概念。

那么如何计算呢？我们先看看二维。

计算

我们会算的也就是一重积分，所以自然想到能不能把二重积分变成一重积分，这也就是所谓累次积分：

Fubini 定理（基本形式）：

或

分割

不过与一维情形不同，多个变量之间互相制约，所以积分上下限可能包含其他变量，这很多时候也是形式复杂的源头。

我们应该划分好区域，让变量上下界秩序分明：

I 型区域（竖切）：

对应

II 型区域（横切）：

对应

变量依赖关系（本质约束）：

内 层 积 分 变 量 的 上 下 限 可 以 含 外 层 变 量 ， 但 反 之 不 行

这样，再运用一次次定积分也就解决了所有问题。三维，乃至高维，也只是重复多次。

三重积分累次积分形式：

换元

那么，我们也可以利用换元来简化积分。在一维中：

一维换元公式：

那么怎么换呢？

设参数变换：

考虑微元变化：

则面积元为：

面积元（叉积形式）：

计算可得，这正是雅可比行列式：

雅可比行列式（二维）：

于是得到：

二重积分换元公式：

在三维中，我们则变成混合积：

从而换元变成：

恰好也是雅可比行列式：

三维雅可比行列式：

三重积分换元公式：

我们可以计算常见坐标变换：

极坐标：

柱坐标：

球坐标：

一般维度也是雅可比行列式吗，我们可以这样看：

联系线性代数，我们知道行列式代表着体积，所以确实，对于一般的情形，直接上行列式就好了！

实操

那么我们便可以小结一下：

1.考虑对称，换元

2.划分变量区域

3.积分

我们来实操一下。

1. 考虑对称，简化被积函数

观察被积函数的分子。

由于积分区域关于、和三个坐标面均具有对称性，根据奇函数在对称区域上的积分为零：

交叉项。

因此，复杂的分子被“脱壳”简化为径向平方和：

2. 换元，划分变量区域

为了处理分母中的和区域的旋转对称性，引入球坐标换元：

球面： - 抛物面： 通过联立方程，解得交线处的临界角。

据此，我们将积分区域在方向上划分为秩序分明的两部分：

区域 I (): 径向受限于球面，。
区域 II (): 径向受限于抛物面，。

3. 积分计算（Jacobi 抵消与分段累加）

利用球坐标体积元，被积函数中的与 Jacobi 因子抵消，积分简化为对的分段累次积分：

分步求解：

第一部分： - 第二部分：

代入得：

最终结果：