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高数 #高数

8.常微分方程 II

Shane Lorien

解的唯一性和存在性

一阶常微分方程的初值问题

已知条件：

  1. 函数 在某个包含点 的闭矩形区域

上连续。因此，根据闭区间上连续函数的性质， 在 上有界，即存在常数 ，使得对所有 ，有 。

  1. 函数 在 上关于变量 满足 Lipschitz 条件：存在常数 ，使得对于任意 和 ，都有

在上述条件下，存在唯一的函数 ，定义在某个包含 的区间 上，满足该微分方程及初始条件。

证明

朴素地，我们考虑两边积分，得到：

这就转化为一个所谓积分方程，如何进一步求解呢？利用 Neumann 方法的思想，想到通过迭代或许可以逼近解。先随便猜一个解，例如常值函数 ，这是唯一确定的值，尽管不满足微分方程，我们可以用方程修正结果，我们考虑这样的迭代：

这样，如果序列 收敛，那么这个极限也就满足积分方程，从而满足微分方程，这样就可做了。

确保良定义

那么首先，我们知道的约束是 ，以及 ，那么通过归纳法寻找 。假设对 及之前都满足约束，下一步：

那么，为了让 ，只要 即可，那么只要选择 ，也就是 。同时 也要满足 ，那么综合就得到 。从而在 上定义都是良的，且图像保持在矩形区域内。

估计相邻迭代

从 开始：

对于一般的 ，利用迭代定义和 Lipschitz 条件，

利用 Lipschitz 条件：

推导： 让我们尝试计算前几项来寻找规律。

  • 已知：- 计算 ：
  • 计算 ：

对于所有 和 ，有以下估计成立：

证明存在性

考虑级数

根据估计，这个级数的每一项都被 所控制。

考虑数值级数 。我们可以用比值判别法来检验其收敛性：

由于极限为 0（小于 1），该数值级数收敛。

根据 Weierstrass M-判别法，由于函数项级数的每一项在区间 上的绝对值都被一个收敛的正项级数的对应项所控制，因此该函数项级数在 上一致收敛。

结论： 这意味着 Picard 迭代序列 在区间 上一致收敛于一个极限函数，记作 。由于每个 都是连续的，且收敛是一致的，极限函数 也是连续的。

回忆迭代公式：

对等式两边取极限 。 左边直接趋于 。 对于右边，将极限号移入积分号内，即：

这说明 满足积分方程，从而是初值问题的一个解。存在性得证。

证明唯一性

推导： 假设存在另一个函数 也满足积分方程：

考虑两个解之差的绝对值 。将两者满足的积分方程相减并取绝对值：

再次应用 Lipschitz 条件：

现在我需要从这个积分不等式推导出 。不失一般性，考虑 的情况。定义 。那么 。上述不等式变为：

移项得 。两边乘以积分因子 ：

这说明函数 在 上是单调不增的。在 处，。因此，对于所有 ，有 。但由于 且 ，我们得出 且 ，故 。

由于 ，其导数 也必然为 0（此处 是连续的）。所以 ，即 对所有 成立。对于 的情况，论证类似。

结论：唯一性得证。

如果从高阶的视角来看，我们可以采用所谓 不动点定理，简单理解就是一个压缩映射在所谓完备度量空间存在唯一不动点。压缩映射指的是映射值的差小于原来的差，也就是映射后两个点距离变小了。完备度量空间是什么且不管。这样的话，也可以清楚地梳理整个证明。

先转化为积分方程，选取合适的区间长度(足够小)，让积分方程对应的映射是一个压缩映射(就如上面选一个 )，然后就可以应用不动点定理。

n 阶线性常微分方程的解结构

这部分确立了线性方程解的基本框架。

  • n 阶线性齐次 ODE：指出若存在 个线性无关的特解 ，则通解可表示为它们的线性组合 。此类方程无奇解。

  • n 阶非齐次线性 ODE：其通解结构为 ，其中 是非齐次方程的一个特解。

  • 核心工具预告： Wronski 行列式 (Wronskian)，用于判定函数组的线性相关性。

二阶线性 ODE 与存在唯一性定理

将讨论具体化到二阶情形。

  • 标准形式：

    • 非齐次：

    • 齐次：

  • 解的存在唯一性定理：

    若系数 及 在区间 上连续，则对于初值问题（），方程在区间上存在且仅有一个唯一的解。

Wronski 行列式的定义与判定

开始推导判定解是否线性无关的数学判据。

  • 定义：对于两个解 ，定义其 Wronski 行列式为：
  • 定理核心： 在 上线性无关的充要条件是 （对于区间内任意 ）。

线性相关性的逻辑证明

板书展示了必要性与充分性的证明思路。

  • 反证法/直接推导：

    • 若 线性相关，则存在不全为零的常数 使得 。

    • 求导得到方程组，由线性代数基础可知，其系数行列式 必然恒等于 0。

  • 引申：探讨了 与解的线性相关性之间的必然联系。

结论的收束与验证

利用初值问题的唯一性完成最后的逻辑闭环。

  • 唯一性应用：

    • 构造一个函数 。

    • 若 ，则可以找到一组不全为零的 使得在某点 处的初值为 0。

    • 根据唯一性定理，如果初值为 0 且满足齐次方程，该解在整个区间内必然恒等于 0（）。

  • 最终判定：由此证明了在 ODE 框架下，只要在一点处 ，则解组必然线性相关；反之若线性无关，则 在区间内处处不为 0。

上面的推导中，我们发现只是假定一个点 为 就会得到处处为 ，这实际上对线性微分方程都成立。

Wronskian行列式

1. 核心背景

设有一个二阶齐次线性微分方程：

假设 是该方程的两个解。

2. 推导逻辑拆解

  • 朗斯基行列式的定义

    首先定义 为这两个解的行列式：

  • 对 求导

    利用导数的乘法法则（或行列式求导法则）：

  • 利用原方程进行代换

    因为 满足原方程，可以提取出二阶导数项： 代入后，包含 的项会互相抵消，剩下：

即：

  • 求解一阶线性方程

    这是一个典型的一阶可分离变量微分方程，整理得 。

    通过积分因子法或分离变量法得到通解：

若给定初始点 ，则表达式为：

3. 关键结论与直觉

“ 不变号”是这个理论在定性分析上的核心价值。

  • 定号性： 由于指数函数 永远大于零，因此 的正负完全取决于初始值 。

  • 线性无关性的保持： 只要在某一点 处两个解线性无关（即 ），那么在 连续的区间内，它们在任何点都线性无关。反之，如果一点为零，则处处为零。

通解结构定理

  • 核心结论： 若 线性无关，则它们的线性组合 包含所有解。

  • 这意味着这组解构成了解空间的一组基，方程的通解空间是一个二维向量空间。

逻辑推导

为什么上述线性组合能覆盖所有解：

  1. 构造初值问题： 假设方程 有一个任意解 。在某点 ，它满足初值 和 。

  2. 确定系数： 考虑线性代数方程组：

因为 线性无关，所以该方程组的行列式（即 ）不为零。根据克莱姆法则，必然存在唯一的一组解 。

  1. 唯一性收网： * 令 ，它显然也是原方程的解。

    • 由于 和 在 点的初值完全相同，根据微分方程解的唯一性定理，必然有 。