9.常微分方程 III - Shane Lorien

线性常系数微分方程

1. 算子多项式的映射

当我们面对一个阶常系数齐次线性微分方程：

其实是在讨论微分算子的一个多项式。

所谓的特征方程，本质上是将算子视为一个变量，把微分方程抽象为了算子空间的代数方程：。

2. 根子空间与核空间（Kernel）的分解

根据代数基本定理，多项式可以在复数域内唯一分解为线性因子的乘积：

对应到微分算子，就有。

由于这些算子因子之间是两两可交换的，根据核空间分解定理（或称循环子空间分解），微分方程的解空间可以分解为若干个互不相干的子空间的直和：

这里的每一个子空间，正是根子空间在函数空间中的体现。

3. 基向量的生成机制

在每个根子空间中，我们要寻找的是能够被湮灭（Annihilated）的所有函数。

当（单根）时，子空间由特征向量张成。
当（重根）时，单纯的特征向量不足以填满维度，于是产生了广义特征向量。

通过平移公式可以证明，这个子空间的基底正好是。这与线性代数中 Jordan 标准型处理重特征值的逻辑完全一致。

所以实际上，常系数线性微分方程要做的也就只有做多项式分解，多项式分解能搞定，微分方程也就解决了。

例

例如，也就是考虑的分解，分解成，于是就有，那么是，是，和也就是，也就是通解了。

特解

这个一方面是猜，如果要一般地做，也可以如下考虑： “套娃”式地定义中间变量：

令
则第一步求解：- 得到后，再解 - 依此类推，直到解出。

不过积分的话，就未必算的出了（

猜解

实际上也就是直觉经验。

1. 为次多项式当时：

若不是特征根（即）：设特解（同阶多项式）。
若是单特征根（即）：设特解。
若是二重特征根（即）：设特解。

2. 为指数函数当时：

若不是特征根：设。
若是单特征根：设。
若是二重特征根：设。

3. 为正余弦函数组合

当时：

若不是特征根：设。
若是特征根：设。

4. 复合形式

当时：

这是最复杂的情况。设，若是特征方程的重根（对于二阶方程，取或），则：

另一种理解

我们之前从线性代数的角度思考了线性常系数微分方程的解，实际上可以考虑所谓的特征方程，而不考虑线性代数，虽然实际上几乎是一个东西，但是可以换种角度理解。

考虑二阶线性递推方程：

我们不会解，但是我们会解等比的递推，于是想到构造，我们希望的是：

或者也就是

这样，我们与原来的方程比较就能解出，从而解出的通项，然后反求。对微分方程我们是不是也可以类似地转换呢：

二阶不会，一阶还是会的，于是构造，我们希望得到：

也就是

同样，与原式对比就可以解出，从而得到的形式，然后再解一个一阶方程就好了。我们具体算算，利用

可知也就是对应方程即所谓特征方程的两根。先考虑两根不同。对这样的方程，当然想到直接分离变量积分：

积分并化简得到

然后乘上因子：

积分得到

也就有

不难解出特征方程两根，于是的通解：

如果两根相同，那么记为。

同样有

同样作用：

于是得到

这与我们考虑线性算子时得到的结果一致。

特解

在线性算子中，我们具体考虑特解的一般性计算，将考虑微分算子的逆，笨人并未研究。这里我们则可以比较形式化地直接得到特解，考虑：

我们故技重施，写成：

这就降成了一阶微分方程，这样乘上积分因子，记：

积分得到：

再来一次：

如果两根不同，则积分：

把常数分离一下就得到：

也就得到了解的一般形式，但是一般猜解还是舒服一点。如果两根相同，那么第二项积分就变成了。

第一项积分看起来有点丑陋，而且并不对称，但实际上可以通过运算化简，我们写成定积分：

分部积分：

最终形式：

①

②

这是非常正统，非常一般化的解，但是显然不太好算，也记不住。我们观察形式，发现：

齐 次 部 分 对 应 ：

非 齐 次 部 分 对 应 ：

常数变易法

被判定为邪修，但是很好用（），根据上面我们的观察，我们知道只要整出来齐次的解，只要把系数设成新的函数带进去解出来就可以得到方程的解。实际上就是我们算出来的那一大坨，但是那显然不好记忆（）

这实际上对非常系数的微分方程也成立，就不证了（buhui），非常系数的齐次解也没有通用的解法，但是我们还是假定我们找到了齐次的通解，然后现在讨论常数变易法。

原方程：

假装解出来了齐次解，安上两个系数函数：

求导：

设划线处（一会解释为什么能这么干）

那么就得到两个方程：

这里的是系数行列式，也就是朗斯基行列式。

从而

欧拉方程

其中为常数，这样形式的微分方程称为所谓欧拉方程。欧拉方程有一个不错的性质，考虑，那么偶数项不消说，奇数项由于和都有多一个负号，所以抵消了。也就是说，也满足方程，换言之，只需要考虑的情形。

那么什么函数值域大于呢，自然的想法是，我们令，那么，注意到，那么就有，如此美妙。我们考虑第二项，设，则，利用数学归纳法可以得到。这么一来，就又变回常系数线性方程了。

例如，我们考虑

那么换元后就是

整理得到

这个丑陋的方程就不解了，总之是解出两个根，然后

但是这还不是，代入 $ t=lnx

但是这要求，利用之前所说，只要把加上绝对值就好

相应的，如果有重根，就得到

伯努利方程

如果没有，那就是标准的一阶非齐次方程，于是自然想到除掉，得到

发现和差，这与求一次导有所关联，于是进行变量代换，那么

就得到了标准的一阶非齐次方程的形式。

一阶 ODE 组

个耦合的一阶微分方程如何求解？

为了方便描述，可以记，类似的。

通解形如

因为要解个方程，故有个常数。独立性的判断仍然是行列式

存在唯一性条件则相应有所变化，要求对，在其上每个对每个满足一致的李普希兹条件。

为什么要研究方程组

我们考虑阶微分方程，实际上可以通过变量替换变成一个一阶 ode 组，只要令，就得到

， 即 原 来 的 微 分 方 程

也就是说，要解阶方程，只要解这样一个方程组就好。所以阶方程有个常数，实际上是因为对应个一阶方程。把上述的常数独立性条件的改成对应的 ,就发现和阶微分方程的常数独立性条件一样。

对存在唯一性条件，我们看：

那么对应的雅可比矩阵也就是

这个矩阵是李普希兹连续的一个充分条件(导数有界)，那么也就只要求最下方那一排导数连续。

二阶微分方程存在唯一性条件要求连续，实际上也就是对应的导数。

各种形式

1. 一般形式（General Form）

最顶层是高度抽象的非线性向量方程：

含义：系统的演化速率取决于当前自变量和状态向量的某种复杂非线性组合。

2. 线性化（Linearization）

通过引入“线性”约束，方程退化为变系数线性微分方程组：

结构：
- 是系数矩阵，其元素随自变量变化。
- 是非齐次项（或称强制项）。
逻辑：此时状态对演化速率的影响是线性的。

3. 常系数化（Constant Coefficients）

进一步引入“常系数”约束，方程退化为最易求解的形式：

核心变化：矩阵不再随变化，而是一个常数矩阵。
价值：这是线性代数介入最深的领域，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量（如 Jordan 标准型）来直接写出通解。