Vandermonde的神秘出现。

特征子空间的独立性证明

1. 直和的定义

设是方阵的不同特征子空间，。若满足：

则必有：

[!abstract] 结论这说明的和是直和。

2. 证明推导过程

设对应的特征值分别为（互不相同）。

第一步：构造线性方程组

利用，我们不断用矩阵左乘向量和等式：

2. 3. 4. 5.

第二步：矩阵化表示

将上述方程组写成矩阵乘法形式：

第三步：利用范德蒙德行列式 (Vandermonde)

右侧的方阵是一个范德蒙德矩阵。由于特征值互异，该方阵的行列式不为 0，因此方阵可逆。

等式两边同时右乘该方阵的逆矩阵：

由此证明： 不同特征值的特征向量线性无关，进而不同特征子空间的基合并后依然线性无关。

关于幂零矩阵的证明

命题

若级矩阵满足条件：

则。

证明过程

1. 利用 Schur 引理

证：由 Schur 引理，在复数域上，相似于一个上三角矩阵：

故相似于：

2. 迹与特征值的关系

于是有：

3. 合并相同特征值

将相同的特征值合并在一起。不妨设是在复数域上互异的特征值，的代数重数记为。则有：

4. 范德蒙德行列式 (Vandermonde Matrix) 形式

写成矩阵形式：

矩 阵 可 逆

由于特征值互异，该范德蒙德矩阵可逆，因此唯一解为：

因为重数，所以必有。

5. 结论

于是在复数域上的特征值均为。这意味着相似于一个主对角线全为的上三角矩阵：

而对于级严格上三角矩阵，，故。

拉格朗日插值多项式的过渡矩阵

设互异，并对记：

证明： 插值多项式构成线性空间的一组基。

并求此基到的另一组基的过渡矩阵 。

证明过程

1. 证明线性无关性

考虑线性组合：

假设线性相关，则存在不全为零的，使得。

根据的定义，具有如下性质：

将代入，得：

由此可得对于所有的，都有。

这与假设矛盾，故 线性无关。

2. 结论

又因为，且我们已知有个线性无关的多项式，故构成的一組基。

求过渡矩阵

根据过渡矩阵的定义，设：

为了确定，我们将互异节点分别代入上述算式：

代入：

由此可见，正好是矩阵的第 1 行。

代入：

（其中在第位）

同理，这构成了矩阵 $ P $ 的**第 $ i $ 行**。

往复得到：

该矩阵即为范德蒙德（Vandermonde）矩阵。

注：若设为基 1，为基 2。根据变换公式，则有。由于从基 1 到基 2 的过渡矩阵是，那么反之从基 2 到基 1 的过渡矩阵即为。这也从构造角度解释了范德蒙德矩阵与拉格朗日插值的对偶关系。