我们介绍一种推导计算若当标准型与有理标准型的新方法, 它是模的理论衍化而来的 -矩阵法的改进.在 -矩阵方法的发展历史中, 字符 承载了过多的历史使命: 它既当做多项式的变元, 又表示矩阵的特征值, 在早期甚至还用来代表线性变换. 故在下面的讨论中, 只用来表示矩阵的特征值,多项式的变量统一用字符 x 表示。
鉴于并不很熟悉，将更多以教材似的铺陈为主，而非有很明确的主线串一起。
-矩阵及其运算
设 是一个域， 是一个字符. 若一个矩阵的元素都是 里的多项式，则称该矩阵为 -矩阵. 为了与普通数字矩阵相区分，我们下面用 表示 -矩阵，-向量.
像普通矩阵一样，-矩阵也可以作加法，乘法以及与 中多项式的“数乘”，也有行列式，代数余子式和可逆的概念.
例：若 ，则 是 -矩阵，称为 的特征矩阵；其行列式 就是 的 特征多项式
既然分量是多项式，我们自然考虑对应的数论关系，对一个多项式 ，如果两个x-向量每个分量的差都是 的倍式，就说他们模 同余。
同时我们可以如上把一个x-向量拆成若干个向量以x幂次为系数的线性组合，例如 是一个x-向量，对任意的 显然可以唯一表示成
那么想让右侧为 ,也只有
我们会发现这和上个笔记中提到的 被 整除的等价条件非常像，同时注意到乘上一个 会让每个向量后移一个，例如 就没了， 对应原来 对应的 所以这应该就对应了一个循环子空间，或者说对应了一个 块。
引理
设 ， 是 的一个特征值。设存在一个 维 -列向量 ，满足 且：
那么如上方写成
其中，系数向量 。
那么
- 重要性质：尾项 恰好是 对应于特征值 的一个特征向量（因为 ），且根据前提 。
证明
首先，我们先凑出 ：
写开 也就是
用分配律拆开
第二项实际上也就是一个 的形式
这对任意 都成立，所以只有
故有：
以及
直接长出了一条循环子空间的链。
逆
设 是 级 -矩阵. 若存在 级 -矩阵 , 使得
则称 -矩阵 可逆. 满足以上条件的 由 唯一确定, 称为 的逆, 记为 .
例如
引理： 级 -矩阵 可逆当且仅当 是 中非零的数.
证： 若有 -矩阵 , 使得 .
两边取行列式, 得 .
因为 , 由它们乘积为 1 可以推出 必须是零次多项式, 即非零常数.
反之, 若 是域 中非零的数.
记 为 的伴随矩阵, 则 也是 -矩阵, 且满足
故 -矩阵 可逆, 且 .
由此也可以有个简单的推论， 可逆那么随便带入一个 ，矩阵当然还是可逆。
初等因子与不变因子
初等变换
不难想到，应该也有类似的初等行列变换，但多项式有所不同。最核心的区别在于：“除法”受限了。- 在 -矩阵中，如果你给某行乘以 ，其逆操作将是“除以 ”。但 不是多项式（不属于 ）。第二类变换只能乘以非零常数（即 中的可逆元），否则它就不是初等变换，会改变矩阵的本质属性（如阶数和秩）。
想到上面的结论，如果我们模掉初等因子，是不是可以找到其对应的一个 Jordan 块。
若当（Jordan）标准型的存在性
若 的特征多项式在域 上能分解成一次因式的乘积，则存在可逆矩阵 ，使得 是若当形矩阵。
证明过程
由上，对 ，总存在可逆的 -矩阵 ，使得：
设 是 的来自 的一个初等因子。记 的第 列为 。比较 (1) 式第 列得：
将 的分量展开成 的多项式，将其写成：
这里 是 中的列向量。注意两侧带入 可知尾项 是可逆数字矩阵 的第 列 ，故 。
对以上 (2), (3) 式应用引理，我们发现：
是 的一个由 生成的 维强循环子空间，且 是 一组循环基的尾项。
现考察同属特征值 但来自不同对角元 () 的初等因子：。它们给出的子空间 都是 -强循环子空间。这些空间循环基的尾项来自可逆矩阵 的不同列 ，故这些尾项线性无关，所以当 固定时，子空间 () 之间是直和，我们记此直和为 ，即 （只取非零的 ）。
注意 ，这里 表示属于特征值 的所有初等因子的最高次数。
当 取遍 的不同特征值时，广义特征子空间 之间都是直和关系，故其子空间 之间也为直和关系。再结合 的定义知 的全部初等因子给出的子空间 () 之和是直和。
最后说明这个直和就是 每个子空间 的维数等于其对应初等因子的次数。由于 的特征多项式在域 上能分解成一次因式的乘积，故 的全体初等因子的次数和等于 。比较直和的维数，得：
（同上，只取非零的 作直和）。
这就完成了证明，还顺便给出了一种构造。
注：比较各子空间
的维数，我们发现：
（取非零的 作直和）就是 的根空间，其维数等于属于 的所有初等因子的次数和，即特征值 的代数重数。当 取遍 的特征值时, 我们又得到主分解定理
这样就得到了另一条路线的结论。
示例
蓝色的向量就是 对应的列直接令 得到的尾项，据此我们可以写出完整的链。
我们可以看到，每个初等因子 都给出了一个 维的强循环子空间，这和若当块一一对应。所以求出初等因子，我们也就得到了若当块的全部，形状加上特征值。回忆起在上次笔记中提到，相似等价于若当标准型相同，于是也就得到等价于初等因子相同。
不变因子与有理标准型
如果 A , B ∈ 的特征多项式不能在域 K上分解成一次因式的积, 或因式分解很难计算,怎么判断 A , B 是否相似, 如何求过渡矩阵 ?
友阵
先做一点铺垫，从我们熟知的循环子空间开始，由于维度限制，会得到
线性无关但是
线性相关，那么也就得到一个零化多项式
记 也就是 的零化多项式，而且是最小多项式。 在这个空间的限制映射，我们也知道，形式优美
而且他的特征多项式也就是 。这就称 是 的友阵。
之前我们把 展开成 的幂次再去作用，但是变化未必可以分解成如此漂亮的一次因式，现在我们考虑在模 的情况下直接作用。
引理
设 ， 为 次首一多项式。又设有列向量 ，使得
则
且 。
注： 光凭以上条件还不足以推出 线性无关。
证明
设 ，并记 ，则
如同初等因子那，我们也是分配律拆开
在模 下，把 降次，并把除了 之外的挪进前面就出现一个移位的形式
比较最后一个等式向量分量里 方幂的系数，得：
由于并非强循环子空间，还出现了一排系数，但这正是友阵（转置）的形式
也可以一项一项写出，即：
反推
及
用矩阵表示，有
故
就是说，这样一组 对应了一条链。
方阵与其转置相似
利用上面的讨论，我们有
以及
利用
代换就得到
显然 可逆，那么
那么就发现
其中
实际上我们也就是做了换基。
我们仔细观察会发现，这两个 Frobenius 矩阵互为转置而相似，那么一般的方阵会和他的转置相似吗？
如果可以这样分解一个方阵，那只要挨个套上面的结论就好了：
其中，每个对角块 是首一多项式（Monic polynomial） 的友阵（Companion Matrix）。
对于每一个友阵块 ，已知存在对称可逆矩阵 使得 。我们可以构造一个分块对角矩阵 ：
由于每个 均可逆，则 显然可逆。对其进行相似变换：
由此证明了标准型 与其转置 相似。
利用 ，对两端取转置可得：
将 以及 代入上式进行展开：
令 ，易证其逆矩阵为 。
上述等式可简写为：
这说明 相似于 。该结论在复数域或任何代数封闭域上均成立。
那接下来的问题是，能不能那么分解一个方阵，实际上，这样的分解被称为有理标准型，也确实可以这么干。
有理标准型
若对角分块矩阵 的对角块 都是某些首一多项式 的友阵，且这些多项式满足 ，则称上述矩阵 为有理标准形矩阵。
定理：
每个矩阵都相似于唯一的一个有理标准形矩阵。
不变因子
这时我们需要溯源到最开始提到的 x-矩阵的初等变换，如果我们严格按照步骤(4*)，就会得到所谓Smith 标准型。
若 ，则存在可逆的 -矩阵 ，使得
这里 是次数 的首一多项式，满足
我们称 为 的不变因子（组）。
初等因子与不变因子
同时，也注意到，初等因子可以重复。
将 的不变因子 在 上因式分解中出现的一次因式的方幂一个一个写下来（相同的需重复记录），就得到 的全部初等因子。
反之，将 的属于同一特征值的初等因子都写在同一行上，每一行上的初等因子按升幂排列，并按尾项上下对齐（不足的可用 补上），再将同一列上的初等因子上下相乘，就变回 的不变因子组 。
不变因子不随扩域改变
矩阵 的不变因子组
由 （的相似等价类）唯一确定，且不依赖于 的扩张。
证： 假设 还有另一组不变因子 。由以上不变因子组与 上初等因子组的一一对应关系， 在 上将有两组不同的初等因子。但是根据之前所述， 的初等因子组（因与 的若当块绑定）被 的相似类唯一确定，由此导出矛盾！
不变因子给出空间分解
设 是 的不变因子，则存在 ，使得
且 在 处的最小多项式为 。
这里 是由 生成的 -循环子空间。