2.曲线积分、曲面积分

之前的积分区域还算好看，但有时候我们需要在曲线、曲面上积分。

第一型曲线积分

1. 第一型曲线积分的定义

对于空间曲线，若其参数方程为：

且满足（一阶连续可导），且切向量。

则函数沿曲线的第一型曲线积分为：

关键点： 积分路径是从点到点，强调“无折返”。

2. 参数变换的不变性

引入新参数的情况。设，其中。

情况 ①：（正向变换）

此时，。积分变换后：

情况 ②：（逆向变换）

此时，。虽然积分限颠倒了，但由于弧微分包含绝对值项，最终结果依然保持一致：

这是第一型曲线积分的特性，无方向性，正着走反着走结果一样。

第二型曲线积分

一、物理背景：变力做功

第二型曲线积分最直观的物理来源是计算一个变力沿曲线所做的功。

离散化思想：将曲线划分为个微小段，在每一小段上力近似不变。

极限过程：当切分无限细时，得到精确的功：

二、核心性质

类似其他积分：

线性（Linearity）：

有向性（Directionality）：这是与第一型积分最大的区别。

结论：积分结果取决于路径的方向，方向反转，结果取负。

分段可加性：

若路径由和首尾相连组成，则：

三、定义与表达形式

第二型曲线积分通常有三种等价的数学面孔：

向量形式：
坐标形式（分量形式）：

设，位移元，则：

与第一型的转换（投影形式）：

其中是力场与曲线切线方向的夹角。

四、计算方法：参数化法

将曲线积分转化为定积分的核心步骤是 “统一变量”。

已知条件：

曲线的参数方程：
参数范围：（注意：对应起点，对应终点）

计算步骤：

计算微分项：
代入积分式：

计算第二型积分时，不需要像第一型那样在根号下平方求和，也不强制要求积分下限小于上限，积分限必须严格遵循路径的起点到终点。

最后我们指出第一型曲线积分与第二型曲线积分之间的联系。虽然两类曲线积分的定义不同，但在一定条件下可以互相转化。

当曲线用参数方程

表出时，是曲线的切向量，因而

也是切向量，且其方向与积分路径的方向一致。又的模正好是弧微分，即

设的方向余弦为，则有

由此得

因而

其中为曲线上各点的切线（且其方向与积分方向一致）的方向余弦。

上式刻画了两类曲线积分的关系。需要注意的是，式中与曲线的方向有关。当曲线的方向改变时，都要改变符号。

对于平面曲线，上述公式变成下列形式：

其中是曲线上各点处与同方向的切线的方向余弦。

从曲线漫步到曲面攀升，我们实际上是将“一元参数化”升级为了“二元映射”。核心矛盾：如何将弯曲的、在三维空间中延展的面积，准确地投影（或拉回）到平坦的二维参数平面上？

我们可以把这个过程拆解为两个阶段：从最直观的“投影法”，到更具一般性的“参数映射法”。

第一型曲面积分

对于一个显式定义的曲面，其积分区域在平面上的投影为。

即为第一型曲面积分，是面积微元，并不带有方向。

1. 面积微元的几何补偿

想象曲面上的一块极其微小的面积。如果你直接用它在底面上的投影来代替它，你显然低估了它的实际大小，因为曲面是有“斜度”的。

推导的核心在于：

这里的根号项本质上是割线（Secant） 的概念（这坨实际上就是一个叉乘）。如果是曲面法向量与轴正方向的夹角，那么：

这是一种“投影补偿”。你站在高处俯瞰（投影到），必须乘以一个放大系数，才能还原出斜坡的真实面积。具体的公式如下：

2. 计算公式

为什么是根号下那一坨呢，实际上还是从叉乘得到，一如重积分。

二、参数化曲面：微观线性化

当曲面不再是简单的，而是更广义的参数方程时，投影法就失效了。这时需要用到叉积推导。

1. 局部切平面的“拉伸”

在平面上一个小矩形，映射到空间中会变成一个近似的平行四边形。

其两条边向量分别为切向量：和。
这一小块面积恰好等于这两个向量叉积的模：

2. 雅可比行列式的几何化

定义：

最终的面积微元系数即为。这与曲线积分中的在结构上具有高度的自洽性。这看起来有点难算，可以换一个办法算，也许会好算一点。

为了避开复杂的叉积行列式计算，我们引入了三个标量函数。设参数曲面为，其偏导向量（切向量）为和：

：衡量方向的长度拉伸。
：衡量参数线之间的夹角（正交性）。
：衡量方向的长度拉伸。

然后利用：

这也就说明：

那我们就不需要去算行列式叉乘，只要算算点积和平方和，一般来说会好算一点。

示例

求球面的表面积。

1. 建模：从空间到投影面

首先选取上半球面作为研究对象。

曲面方程：。
投影区域 ：球面在平面上的投影是一个圆盘。

2. 计算面积微元的“修正系数”

这是最关键的一步。为了求得，我们需要计算偏导数：

代入根号项进行化简：

因此，面积微元为：

3. 积分转化：极坐标的优雅

直接在直角坐标系下积分会非常痛苦，于是引入极坐标变换（）：

雅可比行列式补偿：。
被积函数简化：分母变为。

上半球面积的计算过程如下：

利用凑微分法：

内层积分结果：。
外层积分结果：。

最后，由于这只是上半球，全球面面积。

三、第二型曲面积分：通量的定向

法向量为第二型积分埋下了伏笔。

物理本质：流体穿过曲面的通量。
核心差异：第二型积分是有方向的（侧的概念）。
联系公式：

这说明第二型积分本质上是向量场在曲面法向上的投影权重。

法向量如何计算呢，我们考虑两条切线的叉积即可。

如果显示写出比较容易且好算，取，那么：

就不难得到法向量：

这样会好看不少。当然，我们还是直接考虑一般的情形，代入看看：

注意到和的比例系数恰好是的分母，也即叉积的模，从而刚好约掉，我们只需要在平整的平面做一个二重积分就好了。不过仍然需要算个叉积，有点麻烦。

我们可以把形式做的一点，假设，参数方程为，那么混合积可以直接写成：

或者写成分量形式：

为什么教材常常看到呢，为什么写而并非呢，实际上这应该是外微分，具体我们会在后面讨论。可以如此简单地考虑，按照的顺序叉积刚好是正方向，其余坐标同理。

那么具体计算就没什么好说的，完全就是走流程，算叉积，点乘，积分。不过需要注意方向以及对称性化简。

我们可以不动脑子，换球坐标，直接算叉乘然后点乘积分。也可以考虑对称性，发现法向在上半区和的方向(即轴)相反，下半区法向则与轴点积是正的，于是利用对称性，会变一个号，其他都不变，所以变成两倍的在上半区的积分。然后把写成，因为这里只有，所以刚好点乘对应乘，然后积分即可。