4.奇点

问题

考虑向量场 ：

• 数学陷阱：计算可知 ，看起来场是“无旋”的。

• 直觉误区：如果直接套用格林公式，结论似乎应该是环流量为 。

• 事实：但在原点 处，函数分母为 ，场不存在。如果闭合曲线包围了原点，实际积分为 而非 。当然，如果不包含原点，积分便恒为 。

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处理策略：“挖洞”法 (Excising the Singularity)

当区域 内包含奇点时，格林公式的前提（函数在区域内 连续）不再满足。此时需要手动构造一个多连通区域：

1. 构造内边界：以奇点为圆心，取一个极小的半径 ，构造一个闭合圆周 将奇点“挖掉”。

2. 应用公式：在剩下的区域 内，场是处处连续的，可以应用格林公式：

1. 结果转化：这说明外部大环的积分等于内部小圆周的积分（换了一下 的环流方向）：

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计算：参数化极限

对于上述圆形小边界 ，利用极坐标极易计算：

• 令 。

• 代入积分式：。

• 结论：只要曲线包围了该奇点，无论曲线形状如何，积分值永远是 。

那如果曲线只包含了半个奇点呢？如果只包含了四分之一个奇点呢？ 直觉上，把积分上限变一下就好了（

半覆盖或特定角度（）—— 分段积分或不完全环绕。

• 的情况：如果路径仅在半个平面内围绕奇点旋转（例如从极角 到 ），线积分的结果往往对应于张角的弧度值。

• 的情况：在更一般的情况下，如果边界曲线在奇点处张开的角度为 ，积分结果将直接正比于这个局部几何角。

虽然说不清楚严谨过程，但这是对的（

Maxwell 方程其一

格林公式会碰到奇点，高斯公式呢？