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虽然不知道为什么要把大作业单独列出来写，但既然已经列了，有点懒得动了。但是愿意另开一个文件来写杂记()摘要：肖叙三弹完 S.146练习感觉 弄臣演奏视频
$ F = ma
$$ E=mc^2 $$
$
\frac{\partial L}{\partial w_{ij}} = \sum_{n=1}^{N} (y_n - \hat{y}_n) \frac{\partial \hat{y}n}{\partial w{ij}}
$$
$$
\int_a^b f(x) dx = f(\xi) · (b - a) , \text{where } \xi \in (a,b)
$$
$$
\begin{cases}
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} & \text{} \
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 & \text{} \
\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} & \text{} \
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} & \text{}
\end{cases}
$$
$$
$$ \int_a^b f(x) dx = f(\xi) · (b - a) , \text{where } \xi \in (a,b) $$
$$ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} & \text{} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 & \text{} \\ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} & \text{} \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} & \text{} \end{cases} $$
我们希望求解：$S(1) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = ?$引入辅助幂级数$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2}$，收敛半径 $R=1$，收敛域 $[-1, 1]$。
步骤一：在 $(-1, 1)$ 内逐项求导：
$$ S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n-1}}{n} $$
步骤二：两边同乘 $x$ 再求导：
$$ (x S'(x))' = \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n-1} = \frac{1}{1-x} $$
步骤三：积分还原。先积分一次：
$$ x S'(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t} dt = -\ln(1-x) \implies S'(x) = -\frac{1}{x}\ln(1-x) $$
再积分一次：
$$ S(x) = \int_0^x -\frac{1}{t}\ln(1-t) dt $$
步骤四：由 $S(x)$在$x=1$ 处连续，取左极限：
$$ S(1) = \int_0^1 -\frac{1}{t}\ln(1-t) dt $$
被积函数在 $t=1$ 处趋于无穷，这超出了黎曼积分的范畴——引出了广义积分的概念。
| 类型 | 特征 | 示例 |
|——|——|——|
| 无穷积分 | 积分区间为无穷 | $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ |
| 瑕积分 | 区间有限但被积函数在某点趋于无穷 | $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ |
$$ \begin{aligned}
\int_a^A f(x) dx &\longleftrightarrow \sum_{n=1}^{N} a_n \
\bigg\downarrow A \to +\infty &\qquad\qquad \bigg\downarrow N \to +\infty \
\int_a^{+\infty} f(x) dx &\longleftrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} a_n
\end{aligned}
$$
有限定积分对应部分和；上限趋于无穷时，广义积分对应无穷级数的求和。
设 $f(x)$在$[a, +\infty)$上有定义，且在任意有限区间$[a, A]$ 上可积。
收敛：若 $\lim_{A \to +\infty} \int_a^A f(x) dx = I$（存在），则定义 $\int_a^{+\infty} f(x) dx = I$。
发散：若上述极限不存在，则称发散。
例 1：$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{A \to +\infty} \left. -\frac{1}{x} \right|_1^A = 1$（收敛）
例 2：$\int_0^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{A \to +\infty} (1 - e^{-A}) = 1$（收敛）
$$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \quad (p > 0) $$
| $p$ 的范围 | 敛散性 |
|———–|——–|
| $0 < p \leq 1$ | 发散 |
| $p > 1$ | 收敛 |
$\int_a^{+\infty} f(x) dx$收敛的充要条件：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists X_\varepsilon \geq a$，使得 $\forall A_1, A_2 > X_\varepsilon$，均有 $\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x) dx\right| \leq \varepsilon$。
类比级数柯西准则：$\left|\sum_{k=n}^{m} a_k\right| < \varepsilon$。
线性性：若 $\int_a^{+\infty} f$和$\int_a^{+\infty} g$均收敛，则$\int_a^{+\infty} (c_1 f + c_2 g)$ 亦收敛。
误区：$\int_a^{+\infty} f(x) dx$收敛$\not\Rightarrow \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。反例：构造无数个越来越窄的脉冲尖峰（高度为 1，宽度为 $1/2^n$），面积收敛但函数不趋于 0。
绝对收敛：$\int_a^{+\infty} |f(x)| dx$收敛$\implies$ $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 绝对收敛。
条件收敛：$\int_a^{+\infty} f(x) dx$收敛，但$\int_a^{+\infty} |f(x)| dx$ 发散。
设 $f(x) \geq 0$，则 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$收敛$\Longleftrightarrow$变上限积分$\int_a^A f(x) dx$ 有上界（$\forall A \geq a$）。
核心：非负函数的变上限积分单调递增，由单调有界原理，上有界即收敛。
设 $0 \leq f(x) \leq g(x)$（$x \to +\infty$），或极限形式 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = k$。以基准函数 $g(x)$（通常为 $p$-积分 $1/x^p$）的敛散性推断 $f(x)$。
例 1：$\int_1^{+\infty} \frac{x^2}{x^4 + \sin^2 x} dx
$$ $0 \leq \frac{x^2}{x^4 + \sin^2 x} \leq \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^2} $$
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 收敛（$p=2>1$），故原积分收敛。
例 2：$\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx$拆分$[0,1]$（连续，定积分存在）和 $[1, +\infty)$。当 $x \geq 1$时$e^{-x^2} \leq e^{-x}$，而 $\int_1^{+\infty} e^{-x} dx$收敛，故原积分收敛。（精确值为$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$）
引例：$\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx$-$p > 1$：$|\frac{\sin x}{x^p}| \leq \frac{1}{x^p}$，绝对收敛。
定理：对 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x) dx$，若：
$f(x)$在$[a, +\infty)$ 上单调且有界；
$\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 收敛；
则 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x) dx$ 收敛。
证明路径 A（积分第二中值定理 + 柯西准则）：
由第二中值定理，$\exists \xi \in [A_1, A_2]$：
$$ \int_{A_1}^{A_2} fg = f(A_1)\int_{A_1}^{\xi} g + f(A_2)\int_{\xi}^{A_2} g $$
$f$ 有界，$g$ 的积分由柯西准则可任意小，故整体趋于 0。
证明路径 B（分部积分法，设 $f$可导且$f’ \leq 0$）：
令 $G(x) = \int_a^x g(t) dt$（有界，$|G| \leq M$）：
$$ \int_a^A fg = f(A)G(A) - f(a)G(a) - \int_a^A f'(x)G(x) dx $$
$f(A)G(A)$：极限存在（$f$ 单调有界，$G$ 收敛）
$\int_a^A |f’ G| \leq M \int_a^A (-f’) = M|f(a) - f(A)| \leq \tilde{M}$：上有界，收敛
步骤：
取上限 $A = N\pi$，缩小区间至 $[\pi, N\pi]$2. 拆分为$\sum_{k=1}^{N-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x^p} dx$
分母放大：$\geq \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{((k+1)\pi)^p} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x| dx$4.$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x| dx = 2$（半周期面积恒为 2）
$$ = \frac{2}{\pi^p} \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{(k+1)^p} $$
当 $0 < p \leq 1$ 时，$p$-级数发散 $\implies$下界趋于$+\infty$ $\implies$ 原积分发散。
结论：$\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx$在$0 < p \leq 1$ 时为条件收敛。
定义：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$收敛$\Longleftrightarrow$ $\int_{-\infty}^0 f(x) dx$和$\int_0^{+\infty} f(x) dx$ 各自独立收敛。
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^0 f(x) dx + \int_0^{+\infty} f(x) dx $$
$$ \text{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^{A} f(x) dx $$
关键：广义积分收敛 $\implies$P.V. 存在，但 P.V. 存在$\not\Rightarrow$ 广义积分收敛。
反例：$f(x) = \frac{x}{1+x^2}$
严格定义：$\int_0^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} dx = \lim_{A \to +\infty} \frac{1}{2}\ln(1+A^2) = +\infty$，发散。
P.V. 视角：$f(x)$ 为奇函数，$\int_{-A}^{A} f(x) dx = 0$，故 $\text{P.V.} = 0$。
广义积分要求两端”各自为政、独立收敛”；P.V. 允许两端”对称抵消”。
设 $f(x)$在$(a, b]$上有定义，且在$x=a$的右邻域内无界，则$a$ 为瑕点。
若 $f(x)$在任意$[a+\delta, b]$ 上可积，且：
$$ \lim_{\delta \to 0^+} \int_{a+\delta}^{b} f(x) dx $$
存在，则称瑕积分 $\int_a^b f(x) dx$ 收敛；否则发散。
几何直观：切掉靠近瑕点的一小段 $\delta$，计算剩余面积，再让 $\delta \to 0^+$ 观察是否稳定。
令 $t = \frac{1}{x-a}$，则 $x = \frac{1}{t} + a$，$dx = -\frac{1}{t^2} dt$：
$$ \int_a^b f(x) dx = \int_{\frac{1}{b-a}}^{+\infty} f\!\left(\frac{1}{t} + a\right) \frac{1}{t^2} dt $$
瑕积分 $\Longleftrightarrow$ 无穷限积分。两者在本质上是对偶的。
几何对称性：以 $y = 1/x$为例，沿$y=x$ 对调坐标轴，横向无穷（无穷积分）与纵向无穷（瑕积分）互换。
$$ \int_0^1 \frac{1}{x^q} dx \quad (q > 0), \quad x=0 \text{ 为瑕点} $$
$$ \int_\delta^1 \frac{1}{x^q} dx = \left. \frac{x^{1-q}}{1-q} \right|_\delta^1 = \frac{1 - \delta^{1-q}}{1-q} $$
| $q$的范围 |$\delta^{1-q}$ 的极限 | 敛散性 |
|———–|———————|——–|
| $0 < q < 1$|$\delta^{1-q} \to 0$| 收敛，值$\frac{1}{1-q}$ |
| $q = 1$|$-\ln\delta \to +\infty$ | 发散 |
| $q > 1$|$\delta^{1-q} \to +\infty$ | 发散 |
| 类型 | 收敛条件 | 直觉 |
|——|———|——|
| 无穷积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$|$p > 1$ | 空间太大，需幂次足够大来压低函数 |
| 瑕积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^q} dx$|$q < 1$ | 高度太高，需幂次足够小来控制爆炸 |
$$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\delta \to 0^+} \int_a^{c-\delta} f(x) dx + \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{c+\varepsilon}^b f(x) dx $$
注意 $\delta$和$\varepsilon$ 是独立趋于 0 的。
令两侧对称逼近（$\delta = \varepsilon$）：
$$ \text{P.V.} \int_a^b f(x) dx = \lim_{\delta \to 0^+} \left( \int_a^{c-\delta} f(x) dx + \int_{c+\delta}^b f(x) dx \right) $$
经典实例：$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx$
严格定义：$\int_0^1 \frac{1}{x} dx$ 发散（$q=1$），$\int_{-1}^0 \frac{1}{x} dx$亦发散$\implies$ 发散。
P.V. 视角：$\frac{1}{x}$ 为奇函数，对称区间上正负抵消：
$$ \lim_{\delta \to 0^+} \left( \int_{-1}^{-\delta} \frac{1}{x} dx + \int_{\delta}^{1} \frac{1}{x} dx \right) = \lim_{\delta \to 0^+} (-\ln\delta + \ln\delta) = 0 $$
$$ \text{P.V.} \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx = 0 $$
广义积分
├── 无穷积分
│ ├── 定义（极限存在性）
│ ├── p-积分（p>1 收敛）
│ ├── 柯西准则
│ └── 审敛法
│ ├── 非负函数：有界性定理、比较判别法
│ ├── 变号函数：绝对/条件收敛
│ └── 阿贝尔判别法（单调有界 × 收敛积分）
│ └── 例：∫ sin(x)/x^p （0<p≤1 条件收敛）
│ └── 全直线积分 & 柯西主值（P.V. 存在 ⇏ 收敛）
│
└── 瑕积分
├── 定义（瑕点处无界，极限逼近）
├── 倒数换元 ↔ 无穷积分（对偶性）
├── q-瑕积分（q<1 收敛，与 p-积分镜像相反）
├── 内部瑕点（两侧独立收敛）
└── 柯西主值（对称逼近 ⇏ 严格收敛）
└── 例：∫_{-1}^{1} 1/x dx（发散，但 P.V. = 0）
