Logic の 博客

据 Gemini 说，这种方法叫稠密性论证。

核心范式：

「先在一个‘好’的稠密子集上证明 → 再用连续性/极限推广到一般情形」

行列式的原始定义：

$$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \dots a_{n, \sigma(n)}$$

然而几乎不会有人这么算。更常见的计算是行列变换成三角阵，然后计算对角线的乘积，但这也有些麻烦，能否直接通过矩阵得到关于行列式的信息呢。

利用特征值等工具，有一种多次出现在线代证明的归纳法手段。

例如，在证明特征子空间的独立性时，有一种证法就是利用Vandermonde行列式。

高度 AI 化，因为只是作为整理，当时马上考线代了，我真的懒得自己整了。

这类型的证明似乎只针对特定问题，但实在有点巧妙。
主要利用非负性结合二次函数判别式完成。

简单整理，思想不多。

高中学习向量时，便常听老师说要有基底思想，要学会用一组基表示所有向量。
到了学习线代，基底仍然是非常好的化抽象为具象的手段。一个抽象的线性映射往往让人无从下手，设出基底，我们才能看到一个个的可感的对象。
通常的处理方法是取一组基，扩充到全空间，然后分析。对于多个空间的情形，我们往往设出最小的空间，然后逐个扩大，这样通常是易于叙述的。

作为一个整理而已，没有太多思想。

主要介绍构造矩阵的想法，最后随手记录了Vandermonde行列式的推导