添行与合成大矩阵。

构造矩阵联系起各种要素，从而进一步处理

例如，在行列式计算中，我们有所谓添行。

除了对角元以外都一样的行列式求解

的行列式求解，一种是我们可以直接做行列变换，还有一种操作是构造一个更大的矩阵：

此时行列式可以看做对第一列展开，仍然不变，这时执行消元，看起来简单的多。

随后消去第一行或第一列即可

添行列+代数余子式

（pku25秋线代期中）已知 ， 为元素 的代数余子式。

我们容易想到余子式的正交性，添行：

这时利用经典的 ,我们左乘原来的矩阵的转置：

利用正交性也就有：

从而

在矩阵操作中，也常有合成大矩阵

基础准备：分块矩阵的秩与行列式

根据Laplace展开，我们知道：

同时，我们还有：

可以通过做行列变化得到，以及：

Frobenius不等式的证明

我们构造如下的 分块矩阵 ：

这里不难看出，，如果构造左下角是 ，虽然直接等于了，但我们没什么操作空间。这时我们行列变换消去左上角和右下角：

那么也就得到了想要的结论

Sylvester不等式

虽然和主题无关，但只要将 取为 ，我们也就得到了Sylvester不等式：

即：

这个不等式在秩相关问题可以大展身手。例如证明 时伴随矩阵秩1：

• 因为 ，所以存在一个 阶子式不为 ，故 ，得 。

• 此时 ，代入定义式得 。

• 构造秩的不等式：

  根据 ：

证明

类似地我们构造：

然后进行消元操作：

也就证明了结论

与 特征多项式的关系

设 ，则：

如法炮制，构造矩阵：

消元：

从而

这显然与结论等价。

Binet-Cauchy公式的证明

具体公式为：若 是 矩阵， 是 矩阵（），则：

其中 是取 的第 列构成的方阵， 是取 的第 行构成的方阵。 证明： 构造一个 的分块矩阵：

利用拉普拉斯展开直接对 进行展开。在展开过程中，由于 是单位阵，只有选取的行和列匹配时才非零，最终会自然产生 的形式。

总结

大概如是，使用情景大概为：

• 乘积顺序交换： 涉及到 与 的对称性。

• 秩的不等式： 出现三个或更多矩阵连乘（如 Frobenius）。

• 行列式中绝大多数元素有规律： 构造 阶矩阵引入辅助变量。 Gemini给出了所谓的构造模版，可供一观：

Vandermonde行列式

通过多项式因式分解确定行列式形式

Vandermonde行列式

设 阶范德蒙德行列式为：

我们要证明：。 当 时：

公式成立。 假设公式对于 阶范德蒙德行列式成立。 对最后一列展开，显然是最高次为 的多项式，最高次系数根据归纳假设为 ，注意到 等于 的时候多项式为 ，也就是说可以因式分解为：

合并即可得到结论。

Cauchy行列式

证明 阶 Cauchy 行列式：（由AI给出，懒得打了）

第一步：基础步骤

当 时：

• 左边 - 右边：分子为空积（定义为 ），分母为 。

• 等式成立。

第二步：归纳假设与行列式变换

假设对于 阶行列式公式成立。对于 阶行列式，我们要利用初等变换将其降阶。

1. 消去第一行以外的元素：

对行列式进行列变换。用第 列减去第 列 ()：

2. 提取公因子：

• 从每一列 () 提取公因子 。

• 从每一行 提取公因子 。

• 从每一列 () 提取公因子 （为了让最后一行变简单）。

经过一系列复杂的提取（或直接对每一项进行代数变形），行列式可以转化为：

第三步：递推求解

将归纳假设中的 代入上述递推式：

1. 分子部分： 贡献了 的差积，递推项贡献了包含 的差积（如 和 ）。合起来正好构成 的完整差积。

2. 分母部分： 贡献了前 行列的所有组合，递推项正好补齐了第 行和第 列的所有组合 和 。

结论：等式对 阶成立。