Blog

定义 在单变量的微积分中，我们通过黎曼和定义了定积分，那同样，我们可以通过它定义多重积分： 二重积分的黎曼和定义： iint_D f(x,y) ,dA = lim_{ max ...

之前的积分区域还算好看，但有时候我们需要在曲线、曲面上积分。 第一型曲线积分 1. 第一型曲线积分的定义 对于空间曲线 L ，若其参数方程为： begin{cases} x = ...

对于二维、三维的重积分，我们有没有类似一维的牛顿莱布尼茨公式，有没有类似的分部积分操作呢？ 梯度定理 设 phi( vec{r}) 是一个定义在空间区域上的标量场（ C^1 连续...

问题 考虑向量场 vec{F} = left( frac{ y}{x^2+y^2}, frac{x}{x^2+y^2} right) ： 数学陷阱 ：计算可知 frac...

5.场论

庞加莱引理 d(d omega)=0 1. 第一性原理：算符的对易与抵消 在最基础的坐标表示下，假设 omega 是一个 0 形式（即标量函数 f ），那么： df = sum...

微分方程实际上对学过物理的人而言，是相当熟悉的事情，但如何严格化则还应归属于数学，尽管就应用而言，直觉可以解决大部分问题（ 从场论到微分方程 在场论中，我们讨论了所谓散度无旋，旋度...

解的唯一性和存在性 一阶常微分方程的初值问题 frac{dy}{dx} = f(x, y), quad y(x_0) = y_0 已知条件 ： 1. 函数 f(x, y) 在某...

线性常系数微分方程 1. 算子多项式的映射 当我们面对一个 n 阶常系数齐次线性微分方程： a_n y^{(n)} + a_{n 1} y^{(n 1)} + dots + a_...

首先，线性变换实际上是一种特殊的线性映射，定义域和陪域是同一个集合，所以我们关于线性映射的讨论仍然可以延续。 线性映射的核心定义 如果把一个空间 U 映射到另一个空间 V ，要称之...

尽管可能显得欠缺一定的连续性，先论述线性空间是合理的，尔后再从多项式延展到空间分解才更为自然，或许不妨看做两个分支，从线性空间和多项式环合并而导回线性代数的主分支。 仍然给出一坨定...

对一个向量，我们把它看做 n 个坐标，构建从向量到 n 个坐标的同构。 矩阵实际上也就是向量的堆叠，那类似的我们把它看做 n 个向量，也可以构建同构。 矩阵的展开 (Matrix ...

一 设 V = mathbb{F}_{13}^3 是有限域 mathbb{F}_{13} 上的三维向量空间。给定矩阵： A = begin{bmatrix} 5 & 7 & ...

罗马

是命运的嘲弄，还是自由意志导向的必然悲剧？ <! more 该篇并不很有可补充的史实云云，故集中于剧情的讨论。如希望阅读本文，建议先阅读俄狄浦斯王的故事。 我们可以思考这样一个问题...

特征 ! (/images/Pasted_image_20260319133105.png) <! more Bezout 定理 根 ! (/images/Pasted_image...

意外在习题课被灌注了环论，那就稍微整整（ <! more 我们可以在开篇给出大概的内容，只需要一行： 域 (Field) subset ED subset PID subse...

公元前399年，苏格拉底(Socrates)被判死刑。也许如若他愿意，本可以说服陪审团判他无罪，他却以辩论的姿态、戏谑的口吻激起陪审团的愤怒，平静地接受死亡。 <! more Th...

大约是整数环的数论在多项式环的推广。 <! more 整着整着发现不考虑严谨性的话内容已经多到变成了可以当本书的一章的地步？ 关于整数环的数论基础，可以查看离散笔记中的数论。 在以...

整理上课听到的部分内容以及自己查阅的相关内容，总之是 Funeral Oration 的相关话题。 <! more 文章： <iframe src=/pdf/01_Per...

这里开始是从 mit 的 note 整的，之前是视频课。 <! more 良序集 是指集合的任意元素都能比较大小，且任意子集都有最小元素的集合。 良序定理(Well Orderin...

果然直接截图很好吧，为什么要手打公式呢（ <! more 容斥原理 ! (/images/Pasted_image_20260215135720.png) 韦恩图是一个很好的表示方...

加法、乘法原理和鸽巢原理。 <! more 定义 ： 一个 集合 是一个无序的不同元素的集合。通常用大括号表示。集合的 基数 是指集合元素的个数。 定义 ： 序列 是元素的有序集合...

介绍如题的内容 <! more 毕业生的工作问题： 工作总数固定是 m ，假设在某个领域每年每个教授教出一个毕业生，除了第一年。假设教师们不会退休(永生)，什么时候 m 个职位会被...

介绍如题的内容。 <! more 汉诺塔 汉诺塔是颇为出名的游戏，有三根柱子，一开始一根柱子上有 n 个圆盘，从上到下越来越大。每次移动一个圆盘，必须先移动最上面的圆盘，圆盘必须移...

求和和渐近符号的介绍。 <! more 调和级数 一些木块通过堆叠能超出桌子多长？一种处理方法是贪心法，从最上方开始，移动直到不能移动为止。 记末状态第 k 块距离桌子边缘的距离为...

简单介绍一些求和。 <! more 精确的求和 一年给你 5 万连续给 20 年和一次性给你 50 万，你选什么？因为通胀的因素，这需要详细的考虑。 简单地假设每年膨胀的利率是 p...

尝试用英语记。后面有自己翻译一遍的，顺带复习（ <! more Euler tour An Euler tour is a walk that traverses every ed...

介绍如题的内容。 <! more Relations Relations : A relation from a set A to a set B is a subset R su...

在分布式系统和多处理器计算机中，核心问题是如何高效地连接 N 个输入和 N 个输出。 <! more 1. 通信网络的四大衡量指标 设计一个网络拓扑 G 时，我们审视以下四个属性：...

与数论类似，都是笨人没好好学过的东西，同样主要内容来自 mit 的离散数学课程以及 Gemini 。 <! more 引入 尽管有点神秘，但如果我们希望研究男女之间的关系，图论是个...

由于看的课的中文是机翻，下面对 walk,path 等词语在可能混淆的情形下使用英文。 由于画图的麻烦性，并没有画图，建议自行作画。 <! more 途径(walk) 是由由边链接...

鉴于笨人没怎么学过数论，第一次学有些模糊，记个笔记加深一下印象，没有太多理解，更多是整理。主要内容来自于 mit 的离散数学以及 Gemini 助教，因而也许也可作为学习用。 <!...

算两次 <! more 要从 n 人里面选 k 个代表，要么选了 X 要么没选，分别对应 binom{n 1}{k 1} 和 binom{n 1}{k} ，那么也就有 dbi...

如果合法操作不会改变系统的某个变量，那么如果初始状态和末状态的不变量不同，就可以断言末状态无法到达。 <! more 3×3 华容道不可达性证明 !ABSTRACT 命题 在 3 ...

引用Gilbert老爷子的话： The Singular Value Decomposition is a highlight of linear algebra. <! more...

据Gemini说，这种方法叫稠密性论证。 <! more 核心范式： 「先在一个‘好’的稠密子集上证明 → 再用连续性/极限推广到一般情形」 可逆方阵性质推广至不可逆方阵 首先，对...

行列式与矩阵 <! more 行列式的原始定义： det(A) = sum_{ sigma in S_n} text{sgn}( sigma) a_{1, sigma(1...

归纳法在线性代数。 <! more 实对称矩阵可以相似对角化 1. 定理描述 实对称矩阵 A 必可写成 A = PDP^{ 1} = PDP^T ，其中 P 是正交矩阵， D 是实...

Vandermonde的神秘出现。 <! more 特征子空间的独立性证明 1. 直和的定义 设 V_1, V_2, dots, V_s 是方阵 A 的不同特征子空间， alp...

高度AI化，因为只是作为整理，马上考线代了，我真的懒得自己整了。 <! more 矩阵的LU分解 最实用的方法是基于 高斯消元法 的变形，我们在消元的过程中同时构造 L 和 U 。...

Cauchy不等式这类型的证明似乎只针对特定问题，但实在是巧妙。 主要利用非负性结合二次函数判别式完成。 <! more 经典Cauchy不等式 ( sum a_ib_i)^2 ...

伴随矩阵相关整理。 <! more 代数余子式的正交性让我们在求矩阵的逆的时候得到了伴随矩阵： A^ A = det(A) cdot I 也就是说，我们可以如此求出A的逆： A^...

高中学习向量时，便常听老师说要有基底思想，要学会用一组基表示所有向量。 到了学习线代，基底仍然是非常好的化抽象为具象的手段。一个抽象的线性映射往往让人无从下手，设出基底，我们才能看...

作为一个整理而已，没有太多思想。 <! more 分块矩阵的行列式 如果希望求解分块矩阵的行列式，我们通常也像正常行列式那样消元形成三角阵，那也就可以如此操作： begin{pm...

时感学数学如隔雾看花，终究隔一层，经冲浪看到b站up pikachu，以及听ztf习题课之时，却感觉到目前我所接触的数学，或者说我应该掌握的数学，实际上对天赋并没有过高要求，一反往...

添行与合成大矩阵。 <! more 构造矩阵联系起各种要素，从而进一步处理 例如，在行列式计算中，我们有所谓添行。 除了对角元以外都一样的行列式求解 begin{pmatrix}...

关于博客的简介