数学随笔4

伴随矩阵相关整理。

代数余子式的正交性让我们在求矩阵的逆的时候得到了伴随矩阵：

也就是说，我们可以如此求出A的逆：

或者，也可以反过来求伴随矩阵：

那我们就可以基于此研究研究伴随矩阵的性质，比如他的行列式：

套娃，伴随矩阵的伴随矩阵：

不难发现 就是 ,代入得到：

是件有趣的事情。 伴随矩阵可以用来证明Cayley-Hamilton定理，尽管有点神秘： 设 是 阶方阵，其特征多项式为：

定理断言：若将矩阵 代入该多项式，结果为零矩阵，即：

证明：为了联系起矩阵和特征多项式，我们也许会想到伴随矩阵，对于矩阵 ，有：

伴随矩阵显然是 不超过 阶的多项式：

将展开式代入恒等式：

展开左侧并按 的幂次排列：

对比左右两边相同幂次的系数矩阵：

• --

• …

• - 为了构造 ，我们将上述等式依次左乘 ：

• --

• …

• - 将这 个等式全部相加。你会惊喜地发现，左边所有的 项都形成了消去项（例如 与下一项中的 抵消）。

最后左边结果为 ，右边恰好是 ：

证毕。 虽然和伴随矩阵无关，我们还是给出另一种证明，稍微自然一点： 我们知道，复矩阵总可以相似于一个上三角阵，这可以归纳得到。于是我们设其相似于 ，那么我们只需要证明：

首先，显然 时成立，那么假设对 阶成立，我们有：

这就证明了结论，简短美丽得多。另有一种证明，可见[[数学随笔10#证明：Cayley-Hamilton 定理（连续性方法）]]

神秘小公式：

从而：