在之前，我们已经把线性变换分割成了不变子空间，并考虑了其上的限制映射和诱导映射，而根子空间给出的分解让限制映射有一个非常好的性质，对限制在根子空间 的映射 ，我们构造 有

其中 ，从而 。也就是说这是个幂零矩阵，所以我们只需要研究幂零变换，就可以知道一般变换的性质。

幂零变换 (Nilpotent Endomorphism)

设 。若有正整数 使得 ，则称 是幂零变换。使 成立的最小指数 称为 的幂零指数。

幂零变换 的最小多项式是 。

幂零变换的循环子空间

对幂零变换，我们仍然找循环子空间。

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任给 ，总有 ，使得 。

则

是 -子空间，称为由 生成的强循环子空间。

称为 的循环基， 称为循环基的尾项，它在后面的证明中起到关键性作用。 我们可以证明这构成基，考虑线性组合

我们作用 就只剩 ，只能 。如法炮制就得到所有系数为 。

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若 是 维 -强循环子空间，则有

(矩阵为下三角形式，基向量按原序排列)

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若 是 维 -强循环子空间，则有

(矩阵为上三角形式，循环基按降幂排列)

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也就是说，不变子空间一定从某个幂次一直到 次，中间不能断。

故 维(强)循环子空间 只有 个 -不变子空间：

这些循环基都有相同的尾项。 接下来，我们想要得到原来的变换，需要把一个个子空间拼起来，那自然就想到什么时候是直和。

循环子空间直和的条件

给定 ，怎样才能保证

即：如何保证向量组

线性无关？

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引理：强循环子空间之和是直和的充要条件

结论： 强循环子空间之和是直和，当且仅当 循环基尾项线性无关。

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证明思路 (Proof Sketch)

1. 布局：

若存在系数不全为零的组合使得线性组合为 。将各组循环基按升幂写在不同行上，并按尾项上下对齐：

• 第一行：（假设尾项是 ）

• 第二行：（假设尾项是 ）

• 第三行：（假设尾项是 ）

2. 核心操作（作用算子 B）：

维循环基与尾项的性质

对于 维循环基：

其尾项 具备双重身份：

1. 属于像空间： （它是某个向量作用 次算子后的结果）。

2. 属于核空间： （再作用一次 就归零了）。

因此，尾项位于这两个空间的交集之中：

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空间序列的嵌套结构

设 是算子 的幂零指数（即 且 ）。

我们可以定义一系列子空间 ，它们刻画了不同“长度”的循环基尾项所在的范围：

这些子空间构成了一个升序的嵌套链（Filtration）：

同时，利用我们在商空间证明的

我们代入 就得到

也就是 。这就得到了维数公式。

幂零变换的空间分解

实际上，由幂零变换我们就可以给出空间的分解，正是利用循环子空间 我们考虑基底扩张的过程，从最小的

中，我们取一组基 ，然后我们扩充到下一级，在 补上 ；..直到 。 此时，所有 组成的集合是 的基，且彼此线性无关。

对每一个 ，都可以找到对应的 满足 。我们将所有这些 产生的循环链全部收集起来。由于特意通过“基底扩充”的方法选取 ，所以所有链的尾项集合是线性无关的，因此这些循环子空间之和必然是直和。 我们需要确定这些直和在一起是否填满了整个 。

计算直和空间的维数：

长度为 的链也就对应 里的一串， 是何意味呢，我们看看：

• 在 里挑出的向量： 它们能往回追溯 步（因为在 里），所以它们生成的是长度为 的最长链。

• 在 但不在 里的向量： 它们只能往回追溯 步。它们生成的是长度为 的链。 实际上是“长度 的循环链”的数量。这让我们联想到期望公式，对于正整数的随机变量

那么当我们如法炮制把所有的 加起来时：

• 长度为 的链，只在 中被数了 1 次。

• 长度为 的链，在 和 中各被数了 1 次，共 2 次。

• …

• 长度为 的链，在 中各被数了 1 次，共 次。

所以 通过维数计算公式：

也就得到：

Jordan 标准型

存在性

设 V 是有限维 K-线性空间, 𝒜 ∈ Hom V .若 𝒜 的特征多项式在域 K 上能分解成一次因式的乘积, 则存在 V 的一组基, 使得 𝒜 在此基下的矩阵为若当形矩阵.

证明：

把 分解成

那么考虑在 上的限制映射 ，则 是 上的幂零变换，由上我们知道可以把 分解成 子空间的直和

对于 ，是 上的不变子空间，自然也是 不变子空间，而且 在这组基下的矩阵就是若当块，最后，把所有 拼起来就得到全空间的直和分解，对应的 也就是若当型矩阵。

降幂排列的话， 就在右上角。

级若当块的个数是

这是一个二阶差分，亦可以写作 维数的一阶差分。实际上考虑 维数的一阶差分这是自然的，由于 代表了大于等于 的链，作差就得到长度恰为 的链。

或者也可以直接看做 的二阶差分，实际上也就是 。对于 级的若当块 ，不难发现 。所以 也就是级数大于等于 的若当块数量，也就对应 。再做差分也就得到恰好为 的若当块数量。

唯一性

与 相似的若尔当矩阵，除了可以相差对角块的次序外，由 唯一确定，称为 的若尔当标准型。

首先，对对角块重排也就是乘上置换阵，当然还是相似的。

若尔当块的个数

（ 当 时， 需理解为单位矩阵 ）

这在此前我们已经详细阐述，直观的理解也就是

所以 有多大，他就能撑住多少次的幂次，从而差分得到大于等于 的 ，再差分就得到等于 的数目。

这实际上就直接给出了唯一性，考虑和 相似的 $ J

利用经典结论

得到多项式也相似，也就是

那么也就有

从而利用若当块大小的结论，我们知道和 相似的若尔当矩阵块的大小都一样，再利用相似知特征值一样，就锁定了若尔当标准型。

推论

矩阵相似当且仅当若尔当标准型一样(在重排意义下)。

若尔当矩阵的多项式和幂级数

利用0-若尔当矩阵的形式，我们可以把多项式写成一个漂亮的形式。

一般地，对角不是 ，，那么我们希望套用上面这样美丽的形式，就想到做一个泰勒展开变回 $ J_0

记 为泰勒展开对应的系数，也就有

这就化归了，形式仍然美丽。特别地，当 时，只有可能所有的 都是 ，此时 只剩下对应的次数高于 的项了，换句话说， 。反面也很显然，所以这两个命题等价。

如果大的块是零矩阵，那么小的块自动已经为零，所以考虑 的幂次是否为零，我们只需要考虑同一个特征值中最大的块。

从而其最小多项式也就是

其中 是 对应的最大的块的阶数，被称为稳定指数。利用相似，可知这也是 的最小多项式。