定义

我们熟悉的

有一个名字叫做所谓几何级数。级数是什么呢，实际上就是无穷多个数的求和。那么这样的求和是不是有限的值呢？自然就会想到收敛这个概念。我们定义

为部分和，即截取前 项的和。那么 是否收敛也即级数是否收敛。

对于和的极限，我们想到柯西收敛定理，那么级数收敛的充要条件也就是：

换句话说，也就是较大下标的部分和之差是否收敛。极端一点，考虑两个相邻的部分和的差，也就是通项，那么就得到通项要趋于 级数才可能收敛。

判断收敛实际上回到了放缩，阶估算那些东西。

例如，我们考虑 的求和，利用裂项就得到，从 开始的一个求和小于 ，收敛，从而级数收敛。

相应的，对于 ，我们可以往小了放，放到 个 ，那么选取 就得到部分和 ，从而级数不收敛。

性质

收敛级数的线性组合也收敛

利用柯西收敛定理以及极限的线性性质可知，且线性组合的极限也就是对应的极限的线性组合。

改变有限项不影响收敛

收敛的级数改变有限项仍然收敛，但是和会改变。

和显然会改变，利用柯西收敛定理，我们跳过有限项的最后一项也就能找到 。

收敛级数任意加括号形成的级数也收敛

设级数 收敛于和 ，其部分和序列为 。将其项任意加括号后所成的级数为：

其中 ，并规定 。设级数 (10.1) 的部分和序列为 。不难看出有关系式：

即 是 的一个子序列。因而若原级数收敛于 时，也即 ，就有 。证毕。

但要注意反向并不成立：若对一个级数中的项添加括号后收敛，该级数本身未必收敛。一个最明显的例子是 。它是发散的，但适当添加括号后可以变成收敛的。

这看起来像废话，有什么用呢？实际上它在反证法中是有一定作用的。

例如

证明：调和级数 发散

例： 考察级数 ，其中通项 。

证： （反证法）

假设该级数收敛，并设其和为 。

1. 构造新级数 ：

   我们将原级数的项每两项两项结合，令：

由于 ，显然有：

即 。

2. 定义部分和：

   • 记级数 的部分和为 。

   • 记级数 的部分和为 。

3. 推导矛盾：

   根据级数的结合律，如果 收敛于 ，那么对其任意加括号后的级数 也必然收敛于同一个和 。这意味着：

   当 时， 且 。

   然而，考察两者的差值：

由于每一个 ，该差值序列是单调递增的，因此：

如果令 ，左边将趋于 ，由此得到：

这显然是一个矛盾。

结论： 原假设不成立，调和级数 发散。

正项级数的收敛判别法

如果级数通项都是正的，那么利用单调有界定理，我们只需要说明 有一致上界就知道级数收敛。

此外，有个自然的想法，如果通项每一项都大，那求和自然应该大。

比较判别法

设两个正项级数 与 的一般项满足 ，则：

1. 若级数 收敛，则级数 也收敛；

2. 若级数 发散，则级数 也发散。

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证明

对于结论 (1)：

• 设 与 的部分和序列分别为 与 。

• 由假设条件 可得：。

• 设 收敛，根据单调有界原理（命题 1），其部分和序列 必有上界。

• 即存在常数 ，使得 。

• 由不等式传递性得 ，说明 也有上界。

• 再次引用单调有界原理，得知级数 收敛。

对于结论 (2)：

• 采用反证法。

• 假设 收敛，则由结论 (1) 推得 也收敛。

• 这与已知条件“ 发散”相矛盾。

• 因此， 必发散。证毕。

---

推论（更一般的形式）

注意到删去级数开头的有限项不影响级数的收敛性，可得如下推论：

若存在常数 及 ，使得当 时，有：

则：

• 当 收敛时， 也收敛；

• 当 发散时， 也发散。

这有点像夹逼定理。

p-级数的敛散性

例如我们知道调和级数 发散，就可以考虑所谓 p-级数 的求和。那么 时，就知道也发散。

设 。下面给出一个不用积分判别的，非常神秘的做法。用积分判别十分显然，就不说了。积分判别将在后面提到。

1. 利用微分中值定理建立不等式

考虑函数 在区间 上的增量。根据拉格朗日中值定理：

由于 ，则 。

由此得到关键不等式：

整理得：

---

2. 估计部分和 设级数的部分和为 。我们将第一项（）单独提出，对剩余项使用上述不等式：

这是一个裂项相消级数，求和后中间项全部消去：

---

3. 结论

由上述推导可知，部分和序列 是单调递增且上有界的（上界为 ）。

根据单调有界原理：

技巧性就比较强。

比较判别法的极限形式

设有三个正项级数 与 ，且有：

其中 为有限数或 。则有下述结论：

1. 当 时：若级数 收敛，则级数 也收敛；

2. 当 时：若级数 发散，则级数 也发散。

特别地：当 时，两个无穷级数同时收敛或同时发散。 这实际上就是在做阶估算。同阶同敛散。

---

证明

结论 (1) 的证明：

• 当 时，根据极限的定义，存在一个自然数 ，使得当 时：

• 也即 。

• 由比较判别法（基本形式）可知，从 的收敛性可推出 的收敛性。

结论 (2) 的证明：

• 当 时，我们考虑比值的倒数：

• 约定当 时，。

• 同理，对于充分大的 ，。

• 这证明了结论 (2)。证毕。

达朗贝尔判别法 (Ratio Test)

一般地，我们如何运用等比级数去判断一个级数的敛散性呢，就用到所谓达朗贝尔判别法。

已知条件：

给定正项级数 ，其中 。

设相邻两项比值的极限为：

判定结论：

1. 若 ，级数收敛；

2. 若 （或 ），级数发散；

3. 若 ，判别法失效，级数可能收敛也可能发散，需另行判定。

---

证明逻辑：为什么 时级数收敛

证明思路： 利用比较判别法，将原级数与收敛的几何级数（等比级数）进行比较。

1. 寻找公比 ：

   由于 ，根据极限的性质，一定存在一个常数 ，使得 。

2. 确定范围：

   存在充分大的正整数 ，使得当 时，恒有 。

3. 逐项放大：

   • -

   • 推广得：

4. 得出结论：

   记常数 ，则对于所有 ，有 。

   因为 ，几何级数 是收敛的。由比较判别法可知，级数 必定收敛。

对于另一侧，改个符号即可同理推出。

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案例：为什么 时判定失效？

给出两个 但敛散性截然不同的例子：

• 例子 1（发散）： 调和级数 ，但该级数发散。

• 例子 2（收敛）： 的 -级数 ，但该级数收敛。

柯西判别法

观察上面，我们发现我们实际上通过做比值，然后通过比值的极限去构造了等比数列。那实际上我们也可以一步到位，直接考虑 的极限 。然后完全类似地得到和达朗贝尔判别一样的结果。

判定结论：

1. 若 ，级数收敛；

2. 若 （或 ），级数发散；

3. 若 ，判别法失效，级数可能收敛也可能发散，需另行判定。

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拉阿伯判别法 (Raabe’s Test)

前面我们是利用等比级数做一个判定，但是等比级数并不那么强大，我们先前谈论的 -级数是否也能拿来判断敛散性呢？答案是肯定的。

已知条件： 给定正项级数 ，其中 。 设其相邻项比值的变形极限为：

判定结论：

1. 若 ：级数收敛；

2. 若 ：级数发散；

3. 若 ：判别法失效，需采用更精细的判别法（如 Gauss 判别法）。

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证明要点与逻辑推导

核心思想是将其与已知的 p-级数 进行比较。

1. 辅助级数的性质

选取 -级数 。对其进行同样的极限运算：

利用二项式展开或泰勒展开 ：

这说明对于 -级数，该极限值正好等于其幂次 。

2. 利用比较判别法证明 的收敛性

• 寻找中介值：若 ，则一定存在一个数 ，使得 。

• 建立不等式：由于 ，则存在充分大的 ，使得当 时：

• 化简不等式：

• 递推放大： 这说明序列 在 后是单调递减的。因此：

从而得出 。

• 结论：由于 ，由 p-级数收敛判定 和比较判别法 可知，级数 收敛。

积分判别法

在[[7.求和#积分估计]]中我们实际上讨论过积分估计求和。

定理

1. 定理

设 为正项级数（）。若存在单调不增的非负函数 使得 ，则：

**2. 核心等价关系

通过有界性原理（正项级数/非负函数增加的特性）不难得到如下链条：

• 级数收敛 部分和序列 有上界。

• 积分存在 变上限积分 有上界。

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证明思路

通过比较单位区间上的矩形面积与曲线下积分面积，可以得出以下两个关键不等式：

A. 证明“级数收敛 积分收敛”

利用左矩形法（或右移比较）：

• 逻辑推演：若级数收敛，则 有上界，从而导致 也有上界。根据单调有界原理，当 时，积分 必定存在。

B. 证明“积分收敛 级数收敛”

利用右矩形法：

• 逻辑推演：若反常积分收敛，则其变上限积分 有上界，从而推导出 也有上界。因此，正项级数 必定收敛。

综合两方面就得到原命题成立。

应用

积分判别法可以处理前述判别法得到极限为 而无法处理的情形，例如

这应用 Raabe’s test 或者 Cauchy’s test 都行不通，但是一积分得到原函数 就知道发散，相应地如果改成 就知道收敛。

尽管威力强大，但是需要能积出来，就对形式有一定要求，并不能一招吃遍。