我们希望求解无穷级数：

为了解决它，引入一个辅助幂级数（Power Series）函数 ：

• 收敛半径（Radius of convergence）：

• 收敛域（Domain of convergence）： 在开区间 内，对 进行逐项求导：

为了方便消除分母中的 ，给两边同乘以 ：

再次对两边关于 求导：

注意到右边是一个首项为 、公比为 的无穷几何级数（等比级数），在 时收敛：

由此得到闭式方程：

现在我们需要通过积分，从 一步步还原出 。 对上式两边从 到 进行定积分：

利用换元法（令 ）可得：

将 除到右边：

再次从 到 积分以还原函数 ：

因为 在 处是连续的，所以可以通过从左侧逼近 （左极限）来求得 的值：

但是这个积分我们可以看到，在 这个点的函数值是往无穷跑的，这和我们熟悉的黎曼积分就相悖了，被称为所谓广义积分。

广义积分

广义积分的分类

广义积分（又称反常积分）主要分为两大类：

• 无穷积分（积分区域 ）：积分区间为无穷区间（例如 、 或 ）。

• 瑕积分（函数 ）：积分区间虽然有限，但被积函数在区间内的某些点（瑕点）附近趋于无穷大。

积分与级数的类比关系

定积分/广义积分与数项级数之间的直观对应纽带：

直观理解：有限区间的定积分对应级数的有限部分和 ；当上限趋于无穷时，无穷限广义积分在本质上就对应着无穷级数的求和与收敛性。

无穷积分

无穷限积分的严格定义

1. 前提条件

设函数 在区间 上有定义，并且在任意有限区间 上都是可积的。

2. 收敛与定义

若极限

存在（设其值为 ），则称广义积分 收敛。

此时，定义该广义积分的值为这个极限值：

3. 发散

若上述极限不存在，则称广义积分 发散。

计算示例

示例 1

求广义积分 的收敛性及值。

结论：该广义积分收敛，其值为 。

示例 2

求广义积分 的收敛性及值。

结论：该广义积分收敛，其值为 。

-广义积分的收敛性

讨论积分 的收敛性：

1. 当 时，该广义积分发散。

2. 当 时，该广义积分收敛。

广义积分收敛的柯西准则（Cauchy Criterion）

定理（柯西准则）：

广义积分 收敛的充要条件是：，，使得对于任意的 ，均有：

级数类比：这完美对应了数项级数收敛的柯西准则 。当区间足够远时，尾部的积分贡献可以忽略不计。

广义积分的性质与误区

1. 线性性质

若 收敛，且 收敛，则对于任意常数 ：

2. 关于“被积函数趋于 ”的直观误区

• 疑问：若 收敛，当 时， 是否必然趋于 ？

• 结论与图形直观：不一定。

  一个经典反例提示：我们可以构造一个函数，它在无穷远处有无数个越来越窄的“脉冲尖峰”（例如在每个整数 处，尖峰高度为 ，但宽度为 ）。

  此时，虽然当 时 （极限甚至不存在），但由于尖峰的面积（即积分贡献）呈几何级数衰减，整个广义积分 依然是收敛的。

审敛法

绝对收敛与条件收敛

类似于数项级数，变号函数的广义积分根据其绝对值的可积性分为以下两种情况：

1. 绝对收敛（Absolute Convergence）

   若广义积分 收敛，则称广义积分 绝对收敛。

2. 条件收敛（Conditional Convergence）

   若广义积分 收敛，但 发散，则称广义积分 为条件收敛。

图形直观：正负面积相互抵消使得原积分可能收敛；但如果把负半轴全部翻折上去取绝对值，面积累加过快就可能导致发散，这就构成了条件收敛。

非负函数广义积分的有界性定理

对于始终非负的被积函数，其积分具有单调递增的特性，因而其收敛性与有界性完全等价。

定理：

设 。

则广义积分 收敛 ，使得：

核心逻辑：非负函数的变上限积分 是关于 的单调递增函数。根据单调有界原理，只要它上有界，当 时极限就必然存在。

非负函数广义积分的比较判别法

类似数项级数，我们也有比较判别法：

设在 时，两个非负函数满足：

或者考虑它们的极限形式（极限审敛法）：

• 通过已知敛散性的基准函数 （通常为 -积分 ），即可“放大”或“缩小”来锁定目标函数 的收敛状态。

比较判别法应用示例

示例 1

分析广义积分 的收敛性。

由于 ，在区间 上显而易见有如下不等式关系：

因为基准 -积分 收敛（此时 ），根据非负函数的比较判别法，原积分收敛。

示例 2

分析广义积分 的收敛性。

我们可以将积分区间拆分为 和 。由于被积函数在有限区间 上连续，该部分定积分必然存在，因此只需考察无穷限部分 。

当 时，有 ，从而引出不等式：

因为 已知收敛，根据比较判别法，原积分 亦收敛。

(注：黑板上此处写出的 为该积分在 上的精确高斯积分值)

阿贝尔判别法（Abel’s Test）

1. 经典引例

讨论变号函数积分 的收敛性：

• 当 时：由于 ，原积分绝对收敛。

• 当 时：原积分条件收敛。为了系统性证明此类单调递减驱向 的函数与振荡函数乘积的收敛性，需要引入更高级的判别法。

2. 定理：阿贝尔判别法（Abel’s Test）

考察积分 ，若满足以下两个条件：

1. 在 上单调且有界；

2. 广义积分 收敛；

则广义积分 收敛。

三、 定理的数学证明与推导

有两种主流的微积分证明路径：

路径 A：利用积分第二中值定理（配合柯西准则）

根据广义积分收敛的柯西准则，我们需要证明当 充分大时，保持 。

由于 在 上单调，由积分第二中值定理，，使得：

• 因为 有界，即 ；

• 因为 收敛，由柯西准则，当 足够大时，其子区间的积分 和 均可任意小。

  由此可证整个积分式趋近于 ，即满足收敛条件。

路径 B：利用分部积分法（进一步探讨可导情形）

假设 在区间上具有连续导数 ，且不失一般性，设 且 。

设 。由于 收敛，可知 在无穷远处极限存在且有界，即存在常数 使得 。

对原式进行分部积分：

现在对 取极限，逐项分析：

1. 第一项 ：当 时， 极限存在（单调有界原理）， 极限存在，故该项极限必然存在。

2. 最后一项积分项：考察其绝对值以验证是否绝对收敛：

因为已知 ，所以 。带入积分可得：

由于 在无穷远处有界，该积分项被一个常数 控制（上有界）。由于非负函数变上限积分上有界，该积分必然收敛。

总结：分部积分后的各项在 时极限均存在，从而圆满证明了阿贝尔判别法的正确性。

利用阿贝尔判别法，就不难知道 广义积分的收敛。

发散的示例

当 时，广义积分的绝对值积分是发散的：

为了证明其发散，只需证明当上限 时，变上限积分没有上界。

推导与放大步骤

1. 缩小区间

让上限 取一个特定的离散值 （其中 为足够大的正整数），并将下限由 缩小到 （由于 上的积分为有限常数，省去后不影响敛散性判断）：

2. 区间拆分（离散化为级数）

利用定积分的区间可加性，将 拆分为 个长度为 的小区间 之和：

3. 分母放大（整体缩小）

在每一个子区间 上，由于 是单调递增的，为了将变量 从分母中提取出来，我们把分母替换为其在区间右端点的最大值 。

分母变大，整个分式变小，从而得到不等式：

4. 计算正弦函数的周期面积

注意到正弦函数绝对值 在任意长度为 的半周期区间上的积分都是一个固定的常数 ：

将 代入上式，并把常数项提出来：

• 当 时，根据 -级数的敛散性原理（或当 时作为著名的调和级数），级数 是发散的，其和为 。

• 既然缩小的下界在 时都趋于无穷大，根据夹逼准则（比较判别法），原绝对值积分必然发散。

最终结论：当 时，广义积分 不是绝对收敛的。结合此前阿贝尔判别法的结论，它在此区间内是条件收敛的。

全直线上广义积分

对于积分上下限皆为无穷的情形，其定义类似于单侧无穷限积分 和 。

定义：

广义积分 收敛的充要条件（）是：在实数轴上任意选择一个基准点（通常选 ），将其拆分为两部分，这两部分都必须独立收敛。即：

此时，定义该积分的值为两部分单独求极限后的和：

逻辑单向性与柯西主值（Cauchy Principal Value）

1. 单向蕴含关系

如果广义积分 收敛，那么我们让对称的上下限同时趋于无穷大，其极限也必然存在：

注意：反之不成立！ 这种对称逼近的极限存在，并不能代表原广义积分收敛。

2. 柯西主值的定义

为了定义这种“对称取极限”的特殊积分状态，引入柯西主值的概念，记作 （Principal Value）：

经典反例与辨析

“柯西主值存在 广义积分收敛”

考察函数：

1. 严格定义视角

我们将其按定义拆分，优先考察右侧半轴的广义积分：

同理，左侧半轴的积分 亦发散。

结论：根据定义，原广义积分 发散。

2. 柯西主值视角

由于该被积函数 是一个奇函数（满足 ），对其在对称区间 上进行定积分：

此时对其取极限：

结论：该积分的柯西主值存在，且等于 。

核心总结：

广义积分收敛是一种极其严格的考核，要求负无穷和正无穷两端“各自为政、独立收敛”；而柯西主值 则允许两端的面积在同步对等（对称）扩大的过程中“相互抵消”。因此，不能将两者混为一谈。

瑕积分

一、 瑕积分与瑕点的严格定义

当积分区间为有限区间 ，但被积函数在区间端点无界时，需要引入瑕积分的概念。以下以左端点 为瑕点为例：

1. 前提与定义

设函数 在半开区间 上有定义。若 在点 的右邻域内无界，则称点 为 的一个瑕点（Singular Point / Singular end）。

2. 收敛与发散

若 在任意有限子区间 （其中 ）上可积，且极限：

存在，则称广义积分 收敛。

若上述极限不存在，则称该瑕积分发散。

图形直观：在曲线下方，当 时，函数曲线垂直向上飙升趋于无穷。我们切掉靠近 的一小段 ，计算 的阴影面积，最后让 观察该面积是否能稳定收敛到一个常数。

二、 瑕积分与无穷限积分的转换（倒数换元）

瑕积分和无穷限积分在本质上可以相互过渡。

设 为瑕点，对积分 作倒数换元：

令 ，则 ，从而 。

变换积分上下限：

• 当 时，- 当 时，

带入积分式中：

当 时，上限 。于是瑕积分成功转化为一个无穷限广义积分：

三、 几何对称性与对偶性

函数 （或类似反比例曲线）在第一象限的图像，并将其沿着对角线 做区域划分：

• 区域 ：代表横向向右延伸到正无穷的区域，对应无穷限积分。

• 区域 ：代表纵向向上延伸到正无穷的区域，对应瑕积分。

图形直观地揭示了：从图形面积的几何互换（或反函数、坐标轴对调）视角来看，无穷限积分与瑕积分只是同一个几何实体在不同轴向上的投影，这也解释了为什么两者的分析工具和结论具有高度的对称性。

-瑕积分的敛散性

黑板最右侧给出了瑕积分中最重要的基准判别式：分析积分 的收敛性（此时 为瑕点）。

先求邻域定积分：

当 时，分类讨论极限情况：

1. 当 时：

   由于 ，当 时，。

   极限存在，值为 。因此该瑕积分收敛。

2. 当 时：

   由于 ，可写为 。当 时，。

   极限为无穷大，因此该瑕积分发散。

3. 当 时（单独讨论）：

当 时，。因此该瑕积分发散。

💡 核心总结与对比（避坑指南）

对比此前无穷限 -积分的结论，我们可以发现一个非常优美的“相反”镜像：

• 无穷限积分 ：空间太大，需要幂次足够大 () 才能把函数压得足够低从而收敛。

• 瑕积分 ：高度太高，需要幂次足够小 () 才能控制住瑕点处的爆炸速度从而收敛。

瑕点的其它情形与严格定义

1. 右端点为瑕点

同理，若函数 在半开区间 上有定义，且右端点 为 的瑕点。则可定义瑕积分为左极限：

2. 区间内部为瑕点

若瑕点 位于积分区间 的内部（即 为 的瑕点），其收敛性定义要求两边独立收敛：

按照极限的严格写法，两边需要使用独立的扰动量（ 和 ）分别逼近 ：

图形直观：在内部瑕点 处，函数曲线两侧同时向正负无穷延伸（类似于 在 附近）。严格定义要求挖掉 这一段，并在 各自独立趋于 时两侧面积均存在极限。

瑕积分的柯西主值（Cauchy Principal Value）

如果强行令两侧逼近瑕点的速度完全对称（即令 ），此时对应的极限被称为瑕积分的柯西主值，记作 ：

经典实例分析

考虑 。

1. 严格定义视角

将积分以 为界拆分为两部分：

• 右侧： 发散（根据 -瑕积分定理， 发散）；

• 左侧： 亦发散。

由于两部分不能同时独立收敛，根据定义：

2. 柯西主值视角

采用对称的边界 同时逼近瑕点 ：

由于 是奇函数，在对称挖空的区间 上，正负面积完全抵消，积分值恒为 ：

由此得到：