数学随笔10 - Shane Lorien

据Gemini说，这种方法叫稠密性论证。

核心范式：

「先在一个‘好’的稠密子集上证明 → 再用连续性/极限推广到一般情形」

可逆方阵性质推广至不可逆方阵

首先，对于任意方阵，我们考虑，由于是至多次的多项式，所以至多有个零点，也就是说，至多存在个使得不可逆，从而有无数个使得其可逆，缩小之，可取最小的根，只要，则有可逆。

假设所有的可逆方阵都拥有性质，如果在矩阵空间连续，那么对于一个不可逆方阵，我们考虑加上一个小扰动让其变得可逆，然后令，就得到其亦满足性质。但对于类似秩的性质，这种手法便难以成功，该性质不连续，可能出现跃变。

可对角化矩阵性质推广至不可对角化矩阵

稠密性引理 (Density Lemma)：

在矩阵空间中，特征值互异的矩阵（可对角化矩阵） 构成的集合是稠密的。

这意味着对于任意矩阵，都存在序列使得：

引理证明如下 等价命题：

设 $拥有个互异的特征值$ 。则对于任意，在其任意邻域内均存在。

证明：

1. 构造判别式多项式

对于任意矩阵，其特征多项式为。定义的判别式 (Discriminant) 为：

其中是的特征值。

根据对称多项式基本定理，可以表示为系数的多项式。
由于的系数是中元素的多项式，故是一个关于的 复多项式函数：。

2. 判定准则

由判别式的定义可知：

反之，具有重根当且仅当。

3. 构造扰动直线

取一个特征值互异的对角矩阵。对于给定的矩阵，定义复变量的多项式函数：

当足够大时，矩阵趋近于。由于的特征值互异，由特征值的连续性可知，存在某个使得。
因此，，这意味着是一个非恒为零的多项式。

4. 孤立零点与稠密性

根据复分析或代数学性质，非恒为零的多项式在复平面上只有有限个孤立零点。

因此，在的任意开邻域内，必然存在无穷多个使得。
取序列且满足，则构造序列。

结论：

由于，且，证得在中稠密。由于中的矩阵必可对角化，故可对角化矩阵集合亦稠密。

证毕。

证明：Cayley-Hamilton 定理（连续性方法）

定理陈述：

设，其特征多项式为，则有。

**1. 根据稠密性原理，对于任意矩阵，都存在序列使得：

2. 针对的证明

若特征值互异，则可对角化为，其中。

由于是的根，故，从而。

3. 连续性扩张 (Continuity Argument)

定义映射为：

连续性： 的系数是元素的行列式多项式，而的幂次也是连续的。因此，是关于元素的连续函数。
极限推导：

由于，根据步骤 2 得到。

证毕。

💡 笔记小贴士：

为什么要在而不是中证明？ 因为在实数域上，特征值可能不存在（变成复数），会导致“稠密性”讨论变复杂。在复数域下，任何矩阵都至少有特征值，处理起来最自然。

正定矩阵性质推广到半正定矩阵

完全类似上方，具体可参照 [[数学随笔9#（半）正定矩阵的行列式约束]]，对正定矩阵证明后，半正定矩阵自然也满足该性质。

秩一扰动

类似上方，我们将矩阵加上一个秩一矩阵即有。参考[[数学随笔2#Woodbury 恒等式]]，我们有

以及

我忘了在哪见到的，也忘了有什么应用，但都是扰动，就扔进来吧（

柯西交错定理 (Cauchy’s Interlacing Theorem)

即阶主子阵的特征值严格交错地分布在阶对称矩阵的特征值之间。

1. 构造矩阵与特征多项式

设是阶对称矩阵，将其写成分块形式：

其中是的对称主子阵，是标量，是维列向量。的特征多项式定义为。利用分块矩阵的行列式性质（Schur补）：

2. 利用谱分解展开二次型

设的特征值为，对应的单位正交特征向量为。

如前所述，将进行谱展开：

令（这是非负常数），代入原多项式：

3. 分析符号变化（核心证明）

为了简化讨论，假设且各不相同（一般情况可通过极限逼近说明）。

考虑函数。

极点处的跳变：当从左侧趋近于时（），项，因此。
极点处的跳变：当从右侧趋近于时（），项，因此。

在每一个开区间内：

从连续变化到。
根据连续性，在此区间内必然至少有一个根。
因为，且在该区间内，所以的根就是的根，即的特征值。

4. 边界分析

当时，，而在第一个极点左侧，所以在必有一个根。
当时，，而在最后一个极点右侧，所以在必有一个根。

5. 结论

综合以上所有区间的零点分布，我们得到：

这完整证明了的特征值严格交错地分布在的特征值之间。