数学随笔2 - Shane Lorien

作为一个整理而已，没有太多思想。

如果希望求解分块矩阵的行列式，我们通常也像正常行列式那样消元形成三角阵，那也就可以如此操作：

此时就可以得到

证明通过行列变换给出：设，假设可逆，则可逆。首先我们可以进行行列变换：

这样就得到了左边出现的，如何求逆呢？我们只要求出的逆，他的左上角即为的逆了，那么就只是简单的消元，构造增广矩阵：

第一行乘：

消去左下角 $ C

记，然后乘上他的逆：

最后消掉右上角：

代入我们就得到：

这就完成了证明。如果我们代入一些简单的值就会得到漂亮的等式：

把矩阵换成向量：

上面的

就被称为Schur补。通常这是一个计算分块矩阵行列式的好办法，从它的来历就可以窥出。

二次函数。我们可以把它写成对称矩阵的二次型：

对于这个矩阵，如果我们计算的 Schur 补：

你会发现Schur 补的分子部分正好就是判别式的相反数。这实际上可以推广到分块矩阵的正定性。对于对称矩阵，（正定）当且仅当：

从而保正定性，只要正定就可知正定。

假设是两个复矩阵，其中正定，半正定，那么有：

证明：我们希望更直观地看到 $与$ 的差别，利用Schur补：

当然这也是可以一眼看出的（然后我们只需要证明：

这时利用 $正定从而正定$ （特征值全部大于0），就可以拆分：

把后两个矩阵看做一块，和第一个交换乘法顺序：

这相当于对B做合同变换，保特征值，可见半正定，显然这也对称，于是可以把它对角化：

那么特征值非负，从而原来那个行列式也就等于

也就完成了证明