数学随笔3 - Shane Lorien

高中学习向量时，便常听老师说要有基底思想，要学会用一组基表示所有向量。到了学习线代，基底仍然是非常好的化抽象为具象的手段。一个抽象的线性映射往往让人无从下手，设出基底，我们才能看到一个个的可感的对象。通常的处理方法是取一组基，扩充到全空间，然后分析。对于多个空间的情形，我们往往设出最小的空间，然后逐个扩大，这样通常是易于叙述的。

准备：基扩充定理

设是一个有限维向量空间，。

若向量组是中的一个线性无关组，则：

必有；
若，则必存在个向量，使得向量组构成的一个基。

证明：设初始线性无关组为。

如果已经能张成（即），那么根据定义，就是的一个基，此时扩充过程结束。
如果不能张成，则必然存在一个向量，使得。

从而我们可以把加入构成一个新的线性无关的向量组，下面只需证明这个过程可以通过有限步张成全空间，也就是只要证明一个维空间至多有个无关向量。使用反证法，设有个无关向量，考虑

那么方程数多于未知数，有一组非零解，若，则与线性无关矛盾，故，从而移项可知可以被表出，矛盾。从而知道一个维空间至多有个线性无关的向量，故过程只需要有限步。从而原命题成立。

扩充示例1：秩-零化度定理

考虑一个线性映射，我们总有：

证明：我们取的一组基，将其扩充为的一组基，接下来用作用这组基，得到：

我们要证明原定理，也只要证明后面的个向量能构成的像空间的基。首先，，由于是的基，我们有：

用作用在两侧，得到：

也就是，对于其都可以被表出，只需证线性无关即可说明他们构成的基，我们考虑：

利用线性，可以提出 $\mathcal{A}

这说明

也就是说，这可以被的基表出：

移项得到：

利用中基的线性无关性知，上式成立当且仅当，这正是线性无关的等价条件。从而我们就完成了证明。

扩充示例2：矩阵乘积秩的维数定理证明

定理表述

设矩阵的列数等于矩阵的行数。记的列空间为，的解空间（零空间）为。则有：

证明过程

1. 构造基向量

将的一组基扩充成的列空间的一组基：

显然，此时有：

我们目标是证明 ### 2. 确定列空间的生成组由于的列组与等价，根据矩阵乘法性质，的列组与等价。又因为（的解空间），故有。因此，的列空间可由剩余向量生成：

3. 证明线性无关

设有线性组合：

根据线性映射性质，可得：

这说明向量既在的解空间中，又在的列空间中。因此，它属于交集，可由其基向量线性表示：

移项得：

注意到是的基（线性无关），故其系数必全为 0：

由此得线性无关。

4. 结论

既然线性无关且生成的列空间，则它们构成列空间的基。故：

代入之前的等式：

移项得：

扩充示例3：和空间的维度公式

其中是包含和的最小向量空间。

证明步骤

设定交集的基：设，取其基为。
扩张基空间：
- 扩张为的基：，则。
- 扩张为的基：，则。
确定和空间的基：证明集合是的基。

生成性：显然中的任意元素都能被线性表示。
线性无关性：设

变形得：。

等式左边属于 $ W $，右边属于 $ V $，因此该向量属于 $ V \cap W $。

这意味着左边的 $\sum c_l w_l $ 必须能被 $\{u_1, \dots, u_k\}$ 线性表示。由于 $\{u_i, w_l\}$ 是 $ W $ 的基，是线性无关的，所以所有的 $ c_l $ 必须为 $ 0 $。以此类推，所有系数均为 $ 0 $。

4. 代数等式验证：

扩充示例4：特征值代数重数几何重数

我们设是矩阵的一个特征值，代数重数即中的重根数，几何重数即满足的个数。我们总有代数重数几何重数。

证明：取出对应的特征子空间的一组基,，即几何重数，把基扩充到全空间，得到。我们用作用：

从而相似于，从而他们特征多项式相同，考虑其特征多项式：

展开即知至少有的次方项，结合未知的即知，有代数重数几何重数。

换基与过渡矩阵

1. 过渡矩阵的定义

设与是线性空间的两组基。若基可以由基线性表示：

则从基到基的过渡矩阵 定义为：

[!cite] 注意过渡矩阵的第列是新基在旧基下的坐标。

双向转换关系 如果从到的过渡矩阵是，从到的过渡矩阵是，则：

* 结合
可得：
因此：**

2. 坐标变换公式

定理： 若向量在基下的坐标为，从旧基到新基的过渡矩阵为，则在新基下的坐标为。

推导过程：

3. 基的判定定理

定理： 设是线性空间的一组基，是阶方阵。令：

则：

[!important] 结论是的基可逆

充分性：右乘即知，必要性：从而向量组表出基，利用1中双向转换关系即知。

线性映射、矩阵与基

研究一个线性映射，只要看基的像

考虑线性映射，我们要考虑一个任意的的映射结果，可以先用基底表示：

然后在两边用作用，得到：

从而我们只要知道基的像，也就可以确定任意的像。

线性映射可以用矩阵表示

在线性空间中，同一个线性映射，在不同的基下会对应不同的矩阵。

设是的一组基。线性映射对基向量的作用可以表示为：

写成矩阵形式：

这里的就是映射在基下的矩阵。矩阵的第列，就是第个基向量的像在原基底下的坐标。线性映射之间的“逻辑运算”可以完美转化为矩阵之间的“代数运算”。这使得复杂的几何研究可以变成简单的算术：

设是上的线性变换，在基下的矩阵分别为，则：

线性组合： 对应的矩阵是。
复合映射： （先做再做）对应的矩阵是。
- 注意： 矩阵乘法的顺序与映射复合的顺序一致，这正是矩阵乘法定义得如此“奇怪”的根本原因。
逆映射： 若可逆，其逆映射对应的矩阵是。

相似矩阵的由来：换基公式

定理：设线性映射在基下的矩阵为，在基下的矩阵为。如果从到的过渡矩阵是，那么：

想象你要计算对一个向量的作用，但你手里只有新基下的坐标：

：先将新坐标还原回旧基坐标（因为只认旧基）。
：在旧基下执行线性映射的操作。
：将操作后的结果重新转换回新基下的坐标。

这就是为什么矩阵相似 的定义是。所谓相似矩阵，其实就是同一个线性映射在不同基下的不同“化身”。既然同一映射在不同基下矩阵不同，我们自然会问：能否找到一组基，使得矩阵尽可能简单？

对角化： 如果能找到一组基，使得是对角矩阵，那么这组基就是特征向量基。
若尔当形（Jordan Form）： 如果不能对角化，这组基就是广义特征向量基。

同时，在连续函数方面，我们同样可以选取漂亮的基。

傅里叶多项式、勒让德多项式与切比雪夫多项式

我们定义对于函数的内积：

那么我们同样可以进行类似向量的操作，只不过现在是无穷维向量（定义域内有无穷多值），于是我们一个自然的想法是能不能用来作为一组基，但实际上这个基对应于矩阵，并不是一个好矩阵。如同对向量那样，如果我们选取正交基，是非常美妙的，对应的系数只要做内积就可以得到。

傅里叶多项式

对于周期函数，我们便可以选取作为基，可以验证这是一组正交基，那么便可以做投影：

我们要求解系数，只需要两边做内积，例如：

这样就求出了对应的系数，还是很方便的。

勒让德多项式

如果我们想要正交基，我们通常从已有的基底做施密特正交化，我们在函数这里同样这么干：

1. 准备工作

定义区间：通常选取（在这个区间上得到的称为标准勒让德多项式）。
定义内积：。
原始基向量：

2. 施密特正交化步骤

第一步：确定第一个基直接取。

第二步：构造我们需要从中减去它在方向上的投影：

计算内积：（奇函数在对称区间积分为 0）。
结论：。

第三步：构造我们需要从中减去它在和方向上的投影：

2. 3.（奇函数积分为 0）
代入公式：

3. 归一化与标准形式

数学家为了方便（让），通常会对结果进行缩放。

对于，乘以得到：。

以此类推，你会得到：

这就得到了勒让德多项式，这时做投影就仍然只需要做内积就行，方便得多。

切比雪夫多项式

简单来说，就是倍角公式对应的多项式，由于三角函数的正交性，这同样是正交基：

同时，切比雪夫在数值分析中优于勒让德，因为我们可以利用大幅优化计算速度。