简单介绍一些求和。

精确的求和

一年给你万连续给年和一次性给你万，你选什么？因为通胀的因素，这需要详细的考虑。

简单地假设每年膨胀的利率是，那么年之后的元就只等价于如今的元了。那么第一种方案的总价值是：

这就是我们熟悉的等比数列求和了。

扰动法(Perturbation Method)

我们熟悉的乘上比例错位相减实际上就是所谓扰动法。具体略去。那么我们进行求和并简单化简得到:

时，，这相当于每年赚万，永久支付，尽管无限次支付，总金实际上有限且未必很大。

有时候我们碰到的东西并不那么友善，例如，这时如果运用扰动法，就成了高中常见的错位相减，按下不表。

对于 , ，求导就得到

两边同乘就得到。再令就得到。代入我们的年金和利率就得到。

类似地，做积分可以得到：

也就是

当且时：

由于会趋向于 0，那个复杂的误差项积分会消失。于是得到了微积分中著名的 Taylor 级数：

很多时候求和并不能精准求解，这时候通常使用积分估计。随便画出一个单调增的曲线，可以利用间隔的方块试着分隔其包裹的面积。考虑把曲线左移长度，就把所有方块包住了，再加上最后一个方块就有：

类似的，我们有：

综合起来就得到了的上下界。例如，对应用，就可以得到：

我们管后面的叫做误差项，因为和主要作用的项比起来小得多，记作：

以及：

正式的定义是：

这里的称为渐近相等。

对于单调减的曲线，我们只需要改变不等号方向即可：

以及

类似地我们试试：

那么就是：