一

设是有限域上的三维向量空间。给定矩阵：

对角化判定判断矩阵能否在域上对角化，并说明理由。
矩阵的阶与可逆性证明是可逆矩阵，并求出最小的正整数，使得：

（其中为单位矩阵）。

向量等价关系与轨道分解设。若存在非负整数，使得：

且

则称与等价，记作。证明：“” 是向量空间上的一个等价关系。向量空间被划分为几个等价类？每个等价类（称为一条 -轨道）分别包含几个向量？哪些等价类的并集能够构成的子空间？

这道题的本质，其实是：

有限域上线性变换 = 对角化 + 有限乘法群 + 群作用轨道分解

一、谱结构

设

特征多项式为：

因此：

特征值：（重数1），（重数2）
几何重数：
- -

故：

且 可对角化。

二、矩阵的阶

由于

所以：

在中：

群阶：12
的阶为：12

因此：

三、群作用视角

考虑循环群：

作用在上：

四、轨道结构

1. （特征值 1）

👉 每个向量都是不动点

向量数：13
轨道数：13（每个大小1）

2. 的向量

设：

轨道为：

由于：

👉 每个轨道大小为 12

向量总数

- 可任取：13 种

所以：

总 数

轨道数

五、总轨道数

两种等价写法：

写法 A（推荐）

写法 B（分零向量）

六、结构直观

整个空间可以理解为：

：静止方向
：12周期旋转

于是：

每个轨道 = 一个“圆”（来自）
被平移

更精确地：

中有 14 个轨道（每个12个点）
每个轨道被平移 13 次

七、等价类与子空间

等价类（轨道）的并构成子空间
⇔ 该子空间 在下不变

所有 -不变子空间

由于：

所有不变子空间形如：

其中：

（2种）
（16种）

子空间总数

八、核心思想总结

这道题的本质统一为：

1️⃣ 对角化

2️⃣ 有限域乘法群

3️⃣ 群作用

4️⃣ 轨道结构

：不动点
：12周期
总体：平移后的周期轨道

🌌 一句话总结

这是一个“静止方向 + 旋转方向”的系统，
所有轨道都是“旋转轨道的平移”。

二

设分别是阶复矩阵，其特征值分别为与。定义映射为矩阵空间上的变换：

线性变换证明证明是矩阵空间上的线性变换。2) 特征值求解求变换的所有特征值，并用和的特征值表示。3) 对角化与特征向量设均可对角化，为属于特征值的（右）特征向量，为属于特征值的（右）特征向量。证明在上可对角化。写出属于各特征值的特征向量。

1) 线性变换证明

证明是线性变换：

对于任意和任意，需要验证：

计算左边：

展开：

因此是线性变换。 ∎

2) 特征值求解

关键观察： 将改写为：

更清晰地写成：

这类似于Sylvester变换的形式。利用Kronecker积向量化：

计算的特征值：

设是的特征值，是的特征值（从而也是的特征值）。

对于 Kronecker 积，有以下性质：

的特征值为（对应特征向量与相同）

因此变换矩阵的特征值为：

其中，。

的所有特征值为：

3) 对角化与特征向量

证明可对角化：

已知和均可对角化，则：

，其中 -，其中 构造的特征向量：

设是属于的右特征向量：设是属于的右特征向量：，即 定义矩阵验证是的特征向量：

计算：

逐项计算：

因此：

结论：

是属于特征值的特征向量
由于各有个线性无关的特征向量，我们得到个矩阵，它们构成的一组基（因为和分别是基）
因此可对角化 ∎

总结表格：

特征值	特征向量