笔记5.线性变换 I

首先，线性变换实际上是一种特殊的线性映射，定义域和陪域是同一个集合，所以我们关于线性映射的讨论仍然可以延续。

线性映射的核心定义

如果把一个空间 映射到另一个空间 ，要称之为“线性映射”，它必须恪守两个底线：

• 可加性：先相加再映射，等同于映射后再相加，即 。

• 齐次性：缩放后的映射，等同于映射后再缩放，即 。

  当这两个空间重合（即 ）时，我们通常称之为线性变换。

基的像确定整个映射

对于从 到 的映射，其操作的本质就是矩阵乘法。

• 标准基的作用：通过观察标准基向量（那些只有一位是 1，其余为 0 的向量）被映射后的去向，我们可以把这些结果纵向排列，构造出矩阵 。

• 运算等价性：对向量 进行线性映射，在计算层面等同于执行 。

设 是线性映射

** 在标准基下的矩阵也就是表出系数。

这是线性代数中极具力量的一个结论：只要确定了基底的去向，整个映射就彻底定死了。

• 定理内涵：如果你给定空间 的一组基 ，并随意指定它们在 中对应的目标 ，那么世界上存在且仅存在一个线性映射 满足这个对应关系。

• 构造逻辑：

  1. 由于任何向量 都能唯一地写成基底的线性组合 。

  2. 我们利用线性的“可加性”和“齐次性”，强制定义映射结果为 。

  3. 这种定义方式保证了映射的良定义性（即一个输入对应唯一确定的输出）。

证明一下吧：

验证 是线性映射

为了证明我们构造的映射 （即通过基底像的组合定义的映射）是合法的线性映射，需要验证其满足可加性与齐次性。

已知条件：

设 若 ，则：

验证过程：

• 可加性：

• 齐次性：

---

的唯一性

这部分证明了：一旦基底的像 被确定，世界上不存在第二个不同的线性映射能达成同样的对应关系。

证明过程：

若有线性映射 ，也满足：

则对于空间中任意向量的映射结果：

于是：

线性映射的运算

线性运算：加法与数乘

若 是从 到 的线性映射，则可以定义：

• 加法：

• 数乘：

这两个运算的结果仍然是线性映射。

核心结论：从 到 的全体线性映射在上述运算下构成一个线性空间，记作 。

陪域上能作的运算映射也可以作

---

复合运算：映射的乘法

设 ，。

• 定义： 与 的复合映射 是从 到 的线性映射。

• 记法：称为 与 的乘积，记作 。

• 前提条件： 的陪域与 的定义域相同。

• 结合律：。

---

线性变换的代数结构

当映射发生在同一个空间上，即 时，结构变得更加丰富：

• （或记作 ）上的线性变换不但能相加、数乘，还能作乘法运算。

• 该乘法满足结合律、对加法的分配律，且存在单位元 （恒等变换）。

核心结论： 构成一个 -代数。

---

算子运算实例：微分与乘法

幻灯片展示了一个极具启发性的例子，定义在 上的变换：

• 微分算子 ：- 乘法算子 ： 根据导数的乘法法则 ，可以推导出算子之间的关系：

即：

这实际上是量子力学中正则对易关系在函数空间的数学原型。

---

几何变换实例：投影变换

沿 向 的投影变换 ：

• 背景：空间 可以分解为直和 。

• 定义：对于任何向量 （其中 ），投影算子将其映射为 中的分量：

• 几何直观：所有平行于 的向量被“压扁”到了平面 上。

投影变换的代数定义

当空间 可以分解为直和 时，任何向量 都能唯一分解为 （其中 ）。

• 投影算子 ：定义为 。

• 基本性质：

  • 幂等性：（投射一次后再投射，结果不再改变）。

  • 正交互补性： 且 。

2. 核心定理：投影与幂等的等价性

这是线性代数中的一个优美结论：一个线性变换 是投影变换，当且仅当它是幂等变换（）。

• 空间分解：若 ，则整个空间 必然可以分解为：

• 物理意义：

  • 是沿 向 的投影。

  • 则是反过来的“镜像”操作，即沿 向 的投影。

3. 证明逻辑要点

通过代数推导验证这种直和关系：

• 不动点特性：在 中的向量 ，在 的作用下“点点不动”（）。

• 零交集：通过 和 联立，证明了 ，从而满足直和的条件。

• 全空间覆盖：利用恒等式 ，说明任何向量都能拆分成这两个子空间的成员。

4. 推广：空间的多项分解

这一部分将二元投影推广到了多个子空间的情形。

• 定理（正向）：如果 是多个子空间的直和 ，那么必然存在一组投影算子 ，它们满足：

  1. 两两正交：

  2. 完备性：

  3. 像空间对应：- 定理（逆向）：反之，若一组算子满足上述三个条件，它们就定义了空间 的一个直和分解。

5.多项式与投影

此前，我们已经讨论过如下定理：

设 两两互素。记 。对于 ，有：

这实际上给出了一组投影。

线性映射空间与矩阵空间的同构

结论：

当我们分别为线性空间 和 取定基底 和 时，每一个线性映射 都唯一对应一个矩阵 。

• 映射关系：- 本质：这种对应不仅是双射，还保持了加法和数乘运算，意味着 作为一个线性空间的结构，被矩阵空间 完美“克隆”了。

---

基础矩阵与基本映射

正如矩阵空间有一组标准基 （仅在 位置为 1，其余为 0），映射空间也有对应的基本映射。

• 定义：，其作用规律为：

• 意义：这组基本映射构成了 的基底。这告诉我们，任何复杂的线性映射都可以拆解为这些“只把特定的输入基映射到特定的输出基”的简单动作的线性组合。

---

映射复合与矩阵乘法的等价性

这是线性代数中最关键的定理之一：映射的复合对应矩阵的乘法。

• 定理描述：

  设 的矩阵是 ， 的矩阵是 。

  那么复合映射 的矩阵恰好就是 。

• 逻辑演示：

  通过观察基底像的传递过程：

---

结合律的传递

• 映射层面：映射的复合天然满足结合律，即 。

• 矩阵层面：基于上述等价性，矩阵乘法也必须满足结合律。

复合映射的像空间与维度公式

• 核心定理：

• 证明逻辑：

  1. 考察 在 上的限制映射。

  2. 根据线性映射基本定理（第一同构定理）：。

  3. 验证可知：，且 。

• 推论（Sylvester 秩不等式）：

  利用上述维数公式，可以推导出：

对于矩阵形式，即：。

_等号成立条件：$\text{Ker } \mathscr{A} \subseteq \text{Im } \mathscr{B}$，即 $ A $ 的解空间包含于 $ B $ 的列空间。_

这在之前，我们曾用打洞法构造大矩阵证明过。

---

基变换与矩阵表示的演变

这是线性代数从“静态矩阵”向“动态变换”跨越的关键。

核心问题

当 的基底从 变为 （过渡矩阵为 ）， 的基底从 变为 （过渡矩阵为 ）时，映射 的矩阵如何变化？

变换定理

若 在原基底下的矩阵为 ，则在新基底下的矩阵为：

证明推导

1. 关系式 1：

2. 基变换：；

3. 代入计算：

在线性变换的语境下，就自然出现了所谓相似， 。相似描述的实际上也就是同一个线性变换在不同基的表现。

在最美妙的选取下，就会出现所谓标准型，分块地写成单位阵和0。