从内积，我们抽象出双线性映射，这自然引发我们思考，有没有多重线性映射，他们最简单的形式是什么。

多重映射实际上可以符合直觉地定义：

这样的多重线性，对每个都成立。那么什么东西能够满足这样的性质呢？在笔记双线性映射到张量积中，我们指出张量积就是最干净的双线性映射的形式，具体的，设是同一个对偶空间中的两个元素，那么

这样一个所谓张量积，我们就直接让它效果等同于：

不难验证这正是一个双线性映射，而且非常简单，就是分开作用再乘起来。那这样一个空间，我们要如何描述呢？描述一个线性映射，我们就自然去找一组基，观察基的像。设是两个空间一组基，那么随便取一对，分别作用就是

那实际上，我们发现这样一对东西，实际上会构成这个张量积空间的一组基，我们对应的写作，类似一个 pair ，那么

这就是自然的，但是这都是非常直觉的感受，如何严格地公理化描述呢？

张量积：多重线性映射最纯洁的空间

一、从双线性映射到多重线性映射

从内积出发，我们已经熟悉了对称双线性函数。这自然引发我们思考：有没有多重线性映射？它们最简单的形式是什么？

多重线性映射可以很直观地定义：设是域上的线性空间，映射称为多重线性映射，如果它对每个分量分别线性——即对任意、任意、任意、任意其他分量固定，都有：

并且对加法也满足分配律。换句话说，把输入看成个位置的槽，每次只往一个槽里换东西，映射对这个槽是线性的。

时就是普通的线性映射，时就是双线性映射。

1.1 什么东西能满足多重线性？

那么什么东西能够满足这样的性质呢？

在笔记中我们已经看到，双线性映射最干净的形式就是张量积。具体来说，设是线性空间，是两个线性泛函，那么：

这样一个符号，我们就直接让它效果等同于：

不难验证这正是一个双线性映射——分开作用，再乘起来。非常简单。

1.2 如何描述这样的空间？

那这样一个空间，我们要如何描述呢？描述一个线性空间，我们就自然去找一组基，观察基的像。

设是的一组基，是的一组基。对任意，由双线性：

现在观察基向量对的作用——更准确地说，观察在基向量对上的取值：

这说明：如果我们把视为某种”基元素对”，那么在这些基元素对上的取值恰好是与的乘积。

更进一步，所有形如（其中是对偶基）的元素，在基向量对上的取值为：

这组元素在基向量对上，恰好在处取值 1，其余为 0。它们就是双线性函数空间的一组基——完全类比矩阵空间中基础矩阵在处为 1、其余为 0 的性质。

因此，双线性函数全体构成一个线性空间，维数为，其一组基由组成。

二、从”函数的张量积”到”向量的张量积”

上面我们构造的是对偶空间元素的张量积——它们是双线性函数，输出标量。但张量积的真正力量在于：它能把普通向量也纳入进来。

2.1 一个自然的想法

既然可以看作”基对的函数”，那么反过来，是否可以看作”基对本身”？

更一般地，给定，我们能否定义一个对象，使得它对任意泛函的作用是：

注意右边：是数，是数，乘积也是数。所以左边实际上是一个定义在上的双线性函数。

这就是向量空间的张量积的实体构造：把定义为定义在上的所有双线性函数构成的空间。

2.2 验证双线性性

定义映射，。验证它是双线性的：

对任意：

所以。同理可证右线性。

2.3 基的构造

现在最关键的一步：如果是的基，是的基，那么是否构成的基？

证明：

任取（即是双线性函数）。对任意，设。由双线性：

令，则：

这是因为对任意：

所以张成。

再证线性无关：设。对任意作用：

故所有系数为 0，线性无关。

结论：构成的一组基，。

三、公理化描述：泛性（Universal Property）

上面的构造依赖于对偶空间，在无限维情形下会遇到困难。如何不依赖具体构造，直接从”行为”来刻画张量积？

3.1 核心动机：把双线性化为线性

传统线性映射最容易处理。但双线性映射的底層空间是笛卡尔积，它不是线性的（例如无法直接拆成简单的线性项）。

我们想要一个”中转站”空间，把所有双线性映射都归结为这个中转站上的普通线性映射。

3.2 泛性定理

定义：线性空间配备双线性映射称为的张量积，如果满足：

对任意线性空间和任意双线性映射，存在唯一的线性映射，使得。

交换图：

        φ
U × V ──────→ T
  │            │
  │ ψ          │ σ (唯一)
  ↓            ↓
  └──────→   W

直观理解：是从出发的所有双线性映射的”第一站”。只要知道第一站的行为，通过唯一的线性映射，就能还原出通往任何终点空间的双线性映射。

定理：张量积在同构意义下唯一。

证明：设和都满足泛性。

将视为任意双线性映射，视为张量积。由泛性，存在唯一线性映射使。

反过来，存在唯一线性映射使。

代入得且。由唯一性，且。故是同构。

3.3 存在性验证

在有限维情形，我们已在 §2 中构造了实体模型。验证其满足泛性：

给定双线性映射，在中取基。定义在基上的取值为：

由线性映射由基上取值唯一确定的定理，存在且唯一。验证交换性：，故在基向量对上成立，由线性扩张原理在全空间成立。

四、线性变换的张量积与 Kronecker 积

4.1 算子张量积的定义

设是线性映射。定义它们的张量积映射 为：

并延拓为线性映射。

几何意义：让两个空间各自独立地演化—— 中的向量受作用，中的向量受作用，两者互不干扰。

4.2 矩阵表示：Kronecker 积

选定基后，的矩阵就是与的 Kronecker 积。

完整推导：

设在基和下的矩阵为（），在基和下的矩阵为（）。

考虑的基和的基：

利用双线性展开：

基底前的系数是。将双下标按字典序拉直后，这组系数排布成的矩阵正是：

其中表示标量乘以矩阵的每个元素。这就是 Kronecker 积的分块定义。

4.3 Kronecker 积的核心性质

性质 1（秩的乘法可分性）：。

证明：设。存在可逆矩阵使得，。

利用结合律。由于可逆，和也可逆，相抵变换不改变秩。右侧展开后恰有个对角元为 1，其余为 0。故。

性质 2（特征值的完全可分性）：若的特征值为，的特征值为，则的特征值为（共个，计重数）。

性质 3（迹与行列式）：，。

五、纯张量的性质

5.1 可分离 vs 不可分离

形如的张量称为可分离张量（或纯张量）。但一般张量是形式和。

命题：设。若，则并非所有中的向量都能写成单个的形式。

推导（扩充为基）：

设线性无关，线性无关。考虑。假设。

将扩充为的基，扩充为的基。设。则：

与比较系数：，，，。

由知。由得。由得。但，矛盾。

理解：可分离张量的自由度为，而全空间维度为。当时，所以可分离张量只是全空间中的低维子集。在物理中，可分离张量对应独立态，不可分离张量对应量子纠缠态。

5.2 无零因子性

命题：若，则或。

推导：反证法。设。将扩充为的第一项基底，扩充为的第一项基底。则是全空间基中的一员，不可能是零向量。矛盾。

5.3 可分离性判据

命题：可以写成单个张量积当且仅当线性相关或线性相关。

六、子空间的张量积

定理：设是子空间。令，则，且。

证明：

在中取基，在中取基。将二者分别扩充为的基。

由 §2.3，是的基。其中是这组基的一个子集，故线性无关。

而这个向量恰好张成，因此它们构成的基，。

七、应用：Sylvester 变换与矩阵方程

7.1 拉直变换

设。定义线性变换为：

利用列拉直 （将矩阵按列拉成长列向量），经典公式：

故对应的矩阵为：

7.2 特征值与解的存在性

设的特征值为，的特征值为（与特征值相同）。

由 Schur 三角化，和可分别相似于上三角阵，其对角元分别为和。则相似于上三角阵，对角元为。

的特征值：（共个）。

推论：方程有非平凡解当且仅当有公共特征值。

证明：非平凡解是的特征值使。

八、总结：一条清晰的思维路径

多重线性映射难以处理（非线性交织）
    ↓
构造 U⊗V，使双线性 ↦ 线性（维度爆炸换取线性化）
    ↓
U⊗V 的基由 U 的基 ⊗ V 的基 两两组合而成
    ↓
dim(U⊗V) = dim U · dim V
    ↓
泛性刻画：研究双线性映射 ⟺ 研究线性映射
    ↓
选基后，算子张量积 ⟺ 矩阵 Kronecker 积
    ↓
Kronecker 积的性质（秩、特征值、迹）可直接计算
    ↓
应用于矩阵方程、Sylvester 变换等具体问题